Question

17．如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b² ．

（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的边长分别为（2a+b）、（a+2b），不画图形，试通过计算说明需要C类卡片多少张；
（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的面积等于a²+5ab+4b²，画出这个长方形，并根据图形对多项式a²+5ab+4b²进行因式分解；
（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x＞y），观察图案并判断，将正确关系式的序号填写在横线上①②③④（填写序号）．
①xy=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{4}$      ②x+y=m   ③x²-y²=m•n     ④x²+y²=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可求解；
（2）根据图形和面积公式得出即可；
（3）根据题意得出x+y=m，m²-n²=4xy，根据平方差公式和完全平方公式判断即可．

解答 解：（1）（2a+b）（a+2b）=2a²+5ab+2b²．
故需要C类卡片5张；

（2）如图所示：

a²+5ab+4b²=（a+4b）（a+b）；
故答案为：（a+2b）（a+3b）．

（3）根据图③得：x+y=m，
∵m²-n²=4xy，
∴xy=$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{4}$，
x²-y²=（x+y）（x-y）=mn，
∴x²+y²=（x+y）²-2xy=m²-2×$\frac{{m}^{2}-{n}^{2}}{4}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}$，
∴选项①②③④都正确．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了因式分解的应用，长方形的面积，平方差公式，完全平方公式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和化简能力．