Question

12．一渔船在海岛A北偏东30°方向的M处遇险，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿南偏东75°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿北偏东60°方向以每小时40$\sqrt{2}$海里的速度匀速航行，30分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么渔船遇险M处与海岛C的距离是多少海里？（$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7，$\sqrt{6}$≈2.4）

Answer 1

分析 根据题意和特殊角的三角函数可以求得AC的长，从而可以解答本题．

解答 解：作MN⊥AC于点N，如右图所示，
由题意可得，
∠MAC=60°-30°=30°，∠AMC=75°+30°=105°，
∴∠MCA=180°-∠MAC-∠AMC=180°-30°-105°=45°，
∵MN⊥AC，AC=40$\sqrt{2}×\frac{1}{2}=20\sqrt{2}$，
∴∠MVA=∠MNC=90°，
∴MN=NC，
设NC=a，
∴MN=a，MN=（20$\sqrt{2}-a$）•tan30°，
解得，a=$10\sqrt{6}-10\sqrt{2}$，
∴MC=$\sqrt{M{N}^{2}+N{C}^{2}}=\sqrt{2}a$=$\sqrt{2}（10\sqrt{6}-10\sqrt{2}）$=$20\sqrt{3}-20$≈20×1.7-20=14（海里），
即渔船遇险M处与海岛C的距离是14海里．

点评 本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的辅助线，利用锐角三角函数解答．