Question

 如图，已知抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，动点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度在线段OA上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒。

问：△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由。

Answer 1

解：∵抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点B，

        ∴A(2，0),B(0，4),即OA=2,OB=4。

∴tan∠OAB=2。

若△AON为等腰三角形，有三种情况：      

（I）若ON=AN，如图1所示，

过点N作NQ⊥OA于点Q，

则Q为OA中点，OQ=OA=1，

∴t=。

∴t=。   

（III）若OA=AN，如图3所示，

过点N作NQ⊥OA于点Q，

设AQ=x，则AQ•tan∠OAB=2x，

在Rt△AND中，由勾股定理得：NQ²+AQ²=AN²，

即，解得x₁=，x₂=（舍去）。

∴x=，OD=2﹣x=2﹣。

∴t=1﹣。

综上所述，当t为秒、秒，1﹣秒时，△AON为等腰三角形。

【考点】双动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，分类思想的应用。