Question

如图，在△ABC中，已知AB=AC=4，BC=，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A，EF与AC交于M点。探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出△AEM的面积；若不能，请说明理由。

Answer 1

解：能。

∵AB=AC=4，BC=，

∴AB²+AC²=BC²=32。

∴△ABC是等腰直角三角形。

∴∠C=45⁰。

∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，

∴∠AME＞∠AEF。

∴AE≠AM。

当AE=EM时，如图1，则△ABE≌△ECM（SAS）。

∴CE=AB=4。

∴CM=BE=BC﹣EC=﹣4。

∴AM=6﹣。

过点E作EH⊥AC于点H，则EH=EC=。

∴S_△AEM=。

∴S_△AEM=。

综上所述，当△AEM是等腰三角形时，△AEM的面积为或2。

【考点】等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，全等、相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，分类思想的应用。