Question

设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．

（1）反比例函数是闭区间[1，2014]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；

（2）若一次函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；

（3）若二次函数是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．

Answer 1

解：（1）反比例函数是闭区间[1，2014]上的“闭函数”。理由如下：

∵反比例函数在第一象限，y随x的增大而减小，且

当x=1时，y=2014；当x=2014时，y=1，

∴当1≤x≤2014时，有1≤y≤2014，符合闭函数的定义，故反比例函数是闭区间[1，2014]上的“闭函数”。

（3）∵，

∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大。

①当b≤2时，此二次函数y随x的增大而减小，则根据“闭函数”的定义得，

，两式相减，

得

∵，∴。

∴

解得，或（均不合题意，舍去）。

②当a＜2＜b时，此时二次函数的最小值是=a，根据“闭函数”的定义得

【考点】新定义，反比例函数、一次函数和二次函数的性质，解二元方程组，分类思想的应用。