题目内容
13．如图①，在△ABC外作△BAD、△CAE，使∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE．（1）如图②，在图①的基础上作平行四边形ADFE，取BD中点P，连接PF、PC，试猜想PF与PC的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）如图③，在图①的基础上把△CAE沿边AC翻折，作平行四边形ABFE1，取BD中点P，连接PF、PC，在图③中按要求补全图形，并判断此时PF与PC的数量关系和位置关系，直接写出结论．
分析 （1）结论：PF=PC、PF⊥PC，在图②欲证明PF=PC，PF⊥PC只要证明△PDF≌△PAC即可．
（2）结论不变，证明方法类似（1）．
解答 （1）结论：PF=PC，PF⊥PC，理由如下：
证明：图②中，连接PA．
∵AB=AD，∠BAD=90°，PD=PB，
∴PA=PD=PB，∠ADB=∠ABD=∠PAD=45°，PA⊥BD，
∴∠DPA=90°
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴DF=AE=AC，DF∥AE，
∴∠DAE+∠ADF=180°
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAC=∠ADF，
∵∠PDF=∠ADB+∠ADF=45°+∠ADF，
∠PAC=∠PAB+∠BAC=45°+∠BAC，
∴∠PDF=∠PAC，
在△PDF和△PAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PD=PA}\\{∠PDF=∠PAC}\\{DF=AC}\end{array}\right.$，
∴△PDF≌△PAC，
∴PF=PC，∠DPF=∠APC，
∴∠DPA=∠FPC=90°，
∴PF⊥PC．
（2）结论：PF=PC，PF⊥PC，理由如下：
证明：图③中，连接PA，
∵四边形ABFE′是平行四边形，
∴BF=AE′=AE=AC，∠ABF=∠FE′A，FE′∥AB，
∴∠FE′A=∠EAB
∵AB=AD，∠BAD=90°，PD=BD，
∴PB=PA=PD，∠D=∠DBA=∠PAD=∠PAB=45°，PA⊥BD，
∴∠APB=90°，
∵∠PBF=∠ABF-45°=∠BAE-45°=∠BAC+∠CAE-45°=∠BAC+45°，∠PAC=∠BAC+∠PAB=∠BAC+45°，
∴∠PBF=∠PAC，
在△PBF和△PAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PA}\\{∠PBF=∠PAC}\\{BF=AC}\end{array}\right.$，
∴△PBF≌△PAC，
∴PF=PC，∠FPB=∠CPA，
∴∠FPC=∠BPA=90°
∴PF⊥PC．
点评 本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，题目的难点是图②中∠PDF=∠PAC的证明以及图③中∠PBF=∠PAC的证明．
如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，AB=$\sqrt{2}$，则点A的坐标为（-1，0）、点B的坐标为（0，1）、点C的坐标为（1，0）、点D的坐标为（0，-1）．
如图，点A1、A2、A3、A4是某市正方形道路网的部分交汇点，且它们都位于同一对角线上．某人从点A1出发，规定向右或向下行走，那么到达点A3的走法共有6种．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O，过O作AC的垂线交AC于点E，恰好垂足E在⊙O上，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．
在△ABC的边AB，AC向外作正方形ABED，ACGF，BG、CE相交于H．求证：AH⊥BC．
如图，在正方形ABCD中，AB=8，Q是CD的中点，在CD上取一点P，使∠BAP=2∠DAQ，则CP的长度等于（ ）| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | $\sqrt{3}$ |
| A． | 45° | B． | 90° | C． | 135° | D． | 180° |