Question

15．已知直角坐标系中，△ABC的顶点A（1，1），B（1，a），C（2，b），B，C两点在直线y=-3x+7上，将△ABC向左平移3个单位，再向上平移1个单位得△A₁B₁C₁；再作△A₂B₂C₂，以原点为中心关于△A₁B₁C₁中心对称．
（1）画出平移图象，并写出A₁，B₁，C₁，点坐标．
（2）画出中心对称图象，并写出A₂，B₂，C₂，点坐标．
（3）若P是x轴上的动点，当P在何处时，PC+PC₁最小．
（4）若Q是y轴上的动点，若△BCQ是等腰三角形，在图中作出所有Q点的位置，并写出其中两个Q点的坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用一次函数图象上点的坐标特征求出B、C的坐标，再利用平移的性质写出A₁，B₁，C₁点坐标，然后描点即可得到△A₁B₁C₁；
（2）利用关于中心对称的点的坐标特征写出A₂，B₂，C₂点坐标，然后描点即可得到△A₂B₂C₂；
（3）利用两点之间线段最短，作C点关于x轴的对称点C′，然后连结C¹C′交x轴为P点，则PC+PC₁最小，再写出P点坐标；
（4）分类：分别以B、C为圆心，BC为半径画圆交y轴于Q₃、Q₁、Q₄点，作BC的垂直平分线交y轴于Q₂，然后写出其中两个点的坐标．

解答 解：（1）把B（1，a），C（2，b）分别代入y=-3x+7中得a=-3+7=4，b=-6+7=1，则B（1，4），C（2，1）；
如图，△A₁B₁C₁为所作，A₁的坐标为（-2，2），B₁的坐标为（-2，5），C₁的坐标为（-1，2）；
（2）如图，△A₂B₂C₂为所作，A₂的坐标为（2，-2），B₂的坐标为（2，-5），C₂的坐标为（1，-2）；
（3）如图，点P为所作，P点坐标为（1，0）；
（4）如图，点Q₁、Q₂、Q₃、Q₄为所作，其中Q₂的坐标为（0，2），Q₃的坐标为（0，1）．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了等腰三角形的判定和最短路径问题．