Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O，过O作AC的垂线交AC于点E，恰好垂足E在⊙O上，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若CF=2，cosB=$\frac{3}{5}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由OE垂直于AC，BC垂直于AC，得到OE与BC平行，根据O为DB的中点，得到E为DF的中点，即OE为三角形DBF的中位线，利用中位线定理得到OE为BF的一半，再由OE为DB的一半，等量代换即可得证；
（2）在直角三角形ABC中，由cosB的值，设BC=3x，得到AB=5x，由BC+CF表示出BF，即为BD的长，再由OE为BF的一半，表示出OE，由AB-OB表示出AO，在直角三角形AOE中，利用两直线平行同位角相等得到∠AOE=∠B，得到cos∠AOE=cosB，根据cosB的值，利用锐角三角函数定义列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出圆的半径长．

解答 （1）证明：∵BC⊥AC，OE⊥AC
∴OE∥BC，
又∵O为DB的中点，
∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，
∴OE=$\frac{1}{2}$BF，
又∵OE=$\frac{1}{2}$BD，
则BF=BD；

（2）解：设BC=3x，根据题意得：AB=5x，
又∵CF=2，
∴BF=3x+2，
由（1）得：BD=BF，
∴BD=3x+2，
∴OE=OB=$\frac{3x+2}{2}$，AO=AB-OB=5x-$\frac{3x+2}{2}$=$\frac{7x-2}{2}$，
∵OE∥BF，
∴∠AOE=∠B，
∴cos∠AOE=cosB，即$\frac{OE}{OA}$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{\frac{3x+2}{2}}{\frac{7x-2}{2}}$=$\frac{3}{5}$，
解得：x=$\frac{8}{3}$，
则圆O的半径为$\frac{3x+2}{2}$=5．

点评 此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．