Question

12．如图，在△ABC中，BC=2AB，AD是BC边上的中线，O是AD中点，过点A作AE∥BC，交BO的延长线于点E，BE交AC于点F，连接DE交AC于点G．
（1）判断四边形ABDE的形状，并说明理由；
（2）若AB=$\sqrt{13}$，且OA：OB=2：3，求四边形ABDE的面积．
（3）连接DF，求证：DF²=FG•FC．

Answer 1

分析 （1）先判定△AOE≌△DOB（ASA），得出AE=BD，根据AE∥BD，即可得出四边形ABDE是平行四边形，再根据BD=BA，即可得到平行四边形ABDE是菱形；
（2）根据四边形ABDE是菱形，AB=$\sqrt{13}$，且OA：OB=2：3，运用勾股定理求得AD=4，BE=6，即可得出菱形ABDE的面积；
（3）根据菱形的性质得出∠GDF=∠DCF，再根据∠GFD=∠DFC，即可判定△DFG∽△CFD，进而得到$\frac{GF}{DF}$=$\frac{DF}{CF}$，据此可得DF²=FG•FC．

解答 解：（1）四边形ABDE是菱形．理由如下：
∵AE∥BC，
∴∠EAO=∠BDO，
∵O是AD中点，
∴AO=DO，
在△AOE和△DOB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠BDO}\\{AO=DO}\\{∠AOE=∠DOB}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△DOB（ASA），
∴AE=BD，
又∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵AD是BC边上的中线，
∴BC=2BD，
又∵BC=2AB，
∴BD=BA，
∴平行四边形ABDE是菱形；

（2）∵四边形ABDE是菱形，
∴AD⊥BE，AO=$\frac{1}{2}$AD，BO=$\frac{1}{2}$BE，
设OA=2k，OB=3k，
在Rt△AOB中，由勾股定理得，4k²+9k²=13，
解得k=1，
∴OA=2，OB=3，
∴AD=4，BE=6，
∴菱形ABDE的面积=$\frac{1}{2}$×4×6=12；

（3）证明：∵四边形ABDE是菱形，
∴BE垂直平分AD，
∴EA=ED，FA=FD，
∴∠EAO=∠EDO，∠FAO=∠FDO，
∴∠EAF=∠EDF，
∵AE∥BC，
∴∠EAO=∠DCF，
∴∠GDF=∠DCF，
又∵∠GFD=∠DFC，
∴△DFG∽△CFD，
∴$\frac{GF}{DF}$=$\frac{DF}{CF}$，
∴DF²=FG•FC．

点评 本题主要考查了菱形的判定与性质，勾股定理以及相似三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握菱形的判定方法以及相似三角形的判定方法，解题时注意：菱形的面积等于两对角线长乘积的一半．