Question

7．阅读下面材料后，解答提出的问题：
设S=1+2+3+…+n，①
则S=n+（n-1）+（n-2）+…+1．②
由①+②，得
2S=$\underset{\underbrace{（n+1）+（n+1）+（n+1）+…+（n+1）}}{n个}$=n（n+1）
∴S=$\frac{1}{2}$n（n+1）．
（1）利用上述方法或结论证明：1+3+5+…+（2n-1）=n²．
（2）若1+3+5+…+x=361，求其中的整数x．

Answer 1

分析 （1）设S=1+3+5+…+（2n-1）①，则S=（2n-1）+（2n-3）+（2n-5）+…+1 ②，①+②得出2S=$\underset{\underbrace{2n+2n+2n+…+2n}}{n个}$=2n²，即可得证；
（2）设x=2n-1，则1+3+5+…+2n-1=n²=361，解之得出n的值，代入x=2n-1即可．

解答 解：（1）设S=1+3+5+…+（2n-1），①
则S=（2n-1）+（2n-3）+（2n-5）+…+1，②
①+②，得：2S=$\underset{\underbrace{2n+2n+2n+…+2n}}{n个}$=2n²，
∴S=n²，即1+3+5+…+（2n-1）=n²；

（2）设x=2n-1，
则1+3+5+…+2n-1=n²=361，
解得：n=19或n=-19（舍），
∴x=2n-1=38-1=37．

点评 本题主要考查数字的变化规律及整式的运算、解方程的能力，弄清题干中求和的方法、并熟练运用是解题的关键．