Question

17．如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F．
（1）求证：DF垂直平分AC；
（2）若弦AD=10，AC=16，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得DF⊥DE，再利用平行线的性质可判断DF⊥AC，然后根据垂径定理即可得到结论；
（2）连结AO，如图，先利用勾股定理计算出GD=6，设圆的半径为r，则OG=r-6，再在Rt△AOG中利用勾股定理得到r²=（r-6）²+8²，然后解方程求出r即可．

解答 （1）证明：∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O，
∴DF⊥DE，
又∵AC∥DE，
∴DF⊥AC，
∴DF垂直平分AC；
（2）解：连结AO，如图，
∵AG=GC，AC=16，
∴AG=8，
在Rt△AGD中，GD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
设圆的半径为r，则OG=r-6，
在Rt△AOG中，∵AO²=OG²+AG²，
∴r²=（r-6）²+8²，解得 r=$\frac{25}{3}$，
即⊙O的半径为$\frac{25}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和勾股定理．