题目内容

18．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a、c满足|a+2|+（c-6）2=0．
若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC．

（1）a=-2，b=1，c=6；
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒．
①当t=1时，则AC=12，AB=6；
②当t=2时，则AC=16，AB=9；
③请问在运动过程中，3AC-4AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

分析 （1）根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出a、c的值，再由b是最小的正整数即可得出b的值；
（2）找出当运动时间为t秒时，A、B、C点表示的数．
①代入t=1，找出A、B、C点表示的数，再根据两点间的距离公式即可得出结论；
②代入t=2，找出A、B、C点表示的数，再根据两点间的距离公式即可得出结论；
③根据两点间的距离公式用含t的代数式表示出AC、AB的长，将其代入3AC-4AB中即可得出结论．

解答 解：（1）∵|a+2|+（c-6）2=0，b是最小的正整数，
∴a=-2，b=1，c=6．
故答案为：-2；1；6．
（2）当运动时间为t秒时，A点表示的数为-t-2，B点表示的数为2t+1，C点表示的数为3t+6．
①当t=1时，A点表示的数为-3，B点表示的数为3，C点表示的数为9，
∴AC=9-（-3）=12，AB=3-（-3）=6．
故答案为：12；6．
②当t=2时，A点表示的数为-4，B点表示的数为5，C点表示的数为12，
∴AC=12-（-4）=16，AB=5-（-4）=9．
故答案为：16；9．
③∵AC=3t+6-（-t-2）=4t+8，AB=2t+1-（-t-2）=3t+3，
∴3AC-4AB=3（4t+8）-4（3t+3）=12．
∴在运动过程中，3AC-4AB的值为定值12．

点评 本题考查了数轴、两点间的距离、列代数式、绝对值以及偶次方的非负性，解题的关键是：（1）根据对值以及偶次方的非负性求出a、c值；（2）用含t的代数式表示出A、B、C点表示的数．

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