Question

16．如图，在等腰直角△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD，E为△BCD内一点，且CE⊥DE，DE=2CE，将△CDE绕点C逆时针旋转90°得到△CBF，连接EF、BE，G为DE的中点，连接BG．如果△BDG的面积为1cm²，那么BG的长度为$\sqrt{10}$cm．

Answer 1

分析 先延长DE交BF于A，四边形AECF是正方形，设DE=2CE=2x，则AB=AF=AE=EG=x，根据△BDG的面积为1cm²，可得x的值为$\sqrt{2}$，再根据Rt△ABG中，AG=2$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{2}$，即可得到BG的长度．

解答 解：如图，延长DE交BF于A，
由旋转可得，△ECF是等腰直角三角形，∠BFC=∠DEC=90°=∠AEC，
∴四边形AECF是正方形，
∴CE=CF=AE=AF，
设DE=2CE=2x，则BF=2CF=2x，而G为DE的中点，
∴AB=AF=AE=EG=x，
∵AB⊥AD，△BDG的面积为1cm²，
∴$\frac{1}{2}$×DG×AB=1，即$\frac{1}{2}$x²=1，
解得x=$\sqrt{2}$，
∴Rt△ABG中，AG=2$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{2}$，
∴BG=$\sqrt{A{B}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
故答案为：$\sqrt{10}$

点评 本题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造正方形，依据勾股定理列方程求解．