Question

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx²-8mx+4m+2（m＞0）与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B、C（B在C的左边），直线AD∥x轴交抛物线于点D，x轴上有一动点E（t，0），过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、AD分别交于P、Q．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点B、C的坐标；
（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A（0，3）代入y=mx²-8mx+4m+2，求出m即可，令y=0，得到x²-8x+12=0，解得x=2或6，可得B（2，0）、C（6，0）；
（2）分两种情形①当0＜t＜6时，②当6≤t≤8时，分别求解即可解决问题；
（3）分两种情况讨论：①当2＜t＜8时，AQ=t，PQ=$-\frac{1}{4}{t^2}+2t$若△AOB∽△AQP，若△AOB∽△PQA，分别列出方程求解；
②当t＞8时，AQ=t，PQ=$\frac{1}{4}{t^2}-2t$若△AOB∽△AQP，若△AOB∽△PQA，分别列出方程求解即可；

解答 解：（1）把点A（0，3）代入y=mx²-8mx+4m+2，得3=4m+2，
∴m=$\frac{1}{4}$，
∴该抛物线解析式为：y=$\frac{1}{4}{x^2}-2x+3$；
令y=0，得到x²-8x+12=0，解得x=2或6，
∴B（2，0）、C（6，0）．

（2）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}6k+b=0\\ b=3\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2}\\ b=3\end{array}\right.$
∴直线AC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+3，
设△APC面积为S，
要构成△APC，显然t≠6，
分两种情况讨论：
设直线l与AC交点为F，
∴P（t，$\frac{1}{4}{t^2}-2t+3$）
F（t，$-\frac{1}{2}t+3$），
①当0＜t＜6时，
PF=$-\frac{1}{4}{t^2}+\frac{3}{2}t$，
∴S=$\frac{1}{2}（-\frac{1}{4}{t^2}+\frac{3}{2}t）×6$
=$-\frac{3}{4}{（{t-3}）^2}+\frac{27}{4}$，
此时S最大值为：$\frac{27}{4}$．
②当6≤t≤8时，
PF=$\frac{1}{4}{t^2}-\frac{3}{2}t$，
∴S=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{4}{t^2}-\frac{3}{2}t}）×6$
=$\frac{3}{4}{（{t-3}）^2}-\frac{27}{4}$
∵当t＞3时，s随t的增大而增大，
∴当t=8时，S取最大值为：12．
综上可知，当0＜t≤8时，
△APC面积的最大值为12．

（3）连接AB，则△AOB中，
∠AOB=90°，AO=3，BO=2，
Q（t，3），P（t，$\frac{1}{4}{t^2}-2t+3$），
要构成△APQ，显然t≠8，
分两种情况讨论：
①当2＜t＜8时，
AQ=t，PQ=$-\frac{1}{4}{t^2}+2t$
若△AOB∽△AQP，
则AO：AQ=OB：QP，
即3：t=2：（$-\frac{1}{4}{t^2}+2t$），
∴t=0（舍），或t=$\frac{16}{3}$，
若△AOB∽△PQA，
则AO：PQ=OB：QA，
即2：t=3：（$-\frac{1}{4}{t^2}+2t$），
∴t=0（舍）或t=2（舍），
②当t＞8时，
AQ=t，PQ=$\frac{1}{4}{t^2}-2t$
若△AOB∽△AQP，
则AO：AQ=OB：QP，
即3：t=2：（$\frac{1}{4}{t^2}-2t$），
∴t=0（舍），或t=$\frac{32}{3}$，
若△AOB∽△PQA，
则AO：PQ=OB：QA，
即2：t=3：（$\frac{1}{4}{t^2}-2t$），
∴t=0（舍）或t=14，
综上所述，满足条件的t的值为t$\frac{16}{3}$s或$\frac{32}{3}$s或14s．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质、三角形的面积问题等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．