Question

8．已知：抛物线C_k：y=-x²+2kx-k²+k+1（k=1，2，3…，k为正整数），抛物线C_k的顶点为M_k．
（1）当k=1时，M₁的坐标为（1，2），当k=2时，M₂的坐标为（2，3）．
（2）抛物线C_k的顶点为M_k是否在同一条直线上？如在，请直接写出这条直线的解析式；
（3）如图（2）中的直线为直线l，直线l与抛物线C_k的 左交点为A_k，求证：M_k与A_k+1重合；
（4）抛物线C_k与x轴的右交点为B_k，是否存在△A_kB_kM_k是直角三角形？若存在，求k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由y=-x²+2kx-k²+k+1=-（x-k）²+k+1，可得顶点M_k（k，k+1），由此不难解决问题；
（2）抛物线C_k的顶点为M_k在同一条直线上，由顶点M_k（k，k+1），可知顶点M_k，在直线y=x+1上；
（3）利用方程组求出A_k、A_k+1的坐标即可解决问题；
（4）分两种情形，求出点B_k的坐标，利用待定系数法，转化为方程解决问题即可；

解答 （1）解：由y=-x²+2kx-k²+k+1=-（x-k）²+k+1，可得顶点M_k（k，k+1），
∴k=1时，M₁（1，2），k=2时，M₂（2，3），
故答案分别为（1，2），（2，3）．

（2）解：抛物线C_k的顶点为M_k在同一条直线上，
∵顶点M_k（k，k+1），
∴顶点M_k，在直线y=x+1上．

（3）证明：由$\left\{\begin{array}{l}{y=-（x-k）^{2}+k+1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=k}\\{y=k+1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=k-1}\\{y=k}\end{array}\right.$，
∴A_k（k-1，k），
∴A_k+1（k，k+1），
∵M_k（k，k+1），
∴M_k与A_k+1重合；

（4）观察图象可知当△A_kB_kM_k是直角三角形时，有两种可能：
①当B_kA_k⊥A_kM_k时，
∵直线l的解析式为y=x+1，
∴∠A_kB_kO=45°，
∵A_k（k-1，k），
∴B_k（2k-1，0），
把B_k（2k-1，0），代入y=-x²+2kx-k²+k+1得到，-（2k-1）²+2k（2k-1）-k²+k+1=0，
解得k=3或0（舍弃），
②当B_kM_k⊥A_kM_k时，
∵直线l的解析式为y=x+1，
∴∠M_kB_kO=45°，
∵M_k（k，k+1），
∴B_k（2k+1，0），
把B_k（2k+1，0），代入y=-x²+2kx-k²+k+1得到，-（2k+1）²+2k（2k+1）-k²+k+1=0，
解得K=-1或0（均不符合题意舍弃），
综上所述，满足条件的k的值为3．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、直角三角形的性质、两直线垂直的条件等知识，解题的关键是辛苦利用此时解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．