Question

3．已知：二次函数y=（n-1）x²+2mx+1图象的顶点在x轴上．
（1）请写出m与n的关系式，并判断已知中函数图象的开口方向；
（2）是否存在整数m，n的值，使函数图象的对称轴与x轴的交点横坐标为整数？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由；
（3）若y关于x的函数关系式为y=nx²-m²x-2n-2
①当n≠0时，求该函数必过的定点坐标；
②探索这个函数图象与坐标轴有两个交点时n的值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数y=（n-1）x²+2mx+1图象的顶点在x轴上，根据△=0，求出m和n的关系，进一步得出二次函数的开口方向；
（2）首先求出二次函数图象的对称轴，根据函数图象的对称轴与x轴的交点横坐标为整数讨论存在n的值即可；
（3）①y=nx²-（n-1）x-2n-2可得y=n（x²-x-2）+x-2，令x²-x-2=0，求出x的值，即可求出顶点坐标；
②分别讨论n=0和n≠0的情况，结合抛物线与x轴交点数量关系即可求出n的值．

解答 解：（1）∵二次函数y=（n-1）x²+2mx+1图象的顶点在x轴上，
∴4m²-4（n-1）=0，
∴n-1=m²，
∴n=m²+1，
∵n-1≠0，且m²≥0
∴n-1≥0，
∴图象开口向上；

（2）∵y=（n-1）x²+2mx+1，
∴对称轴x=$-\frac{b}{2a}=-\frac{m}{n-1}=-\frac{1}{m}$，
要使$-\frac{1}{m}$为整数，
∵m，n为整数，
∴只要m=±1，此时n=2，
∴存在m=±1，n=2，符合要求；

（3）①y=nx²-m²x-2n-2=nx²-（n-1）x-2n-2=n（x²-x-2）+x-2，
令x²-x-2=0，得x=-1或2，所以必过的定点为（2，0），（-1，-3），
②若n=0，则y=x-2，直线与坐标轴有两个交点，
若n≠0且n≠1：b²-4ac=（n-1）²+4n（2n+2）=（3n+1）²≥0，
当抛物线过原点时，n=-1，此时图象与坐标轴有两个交点，
当抛物线不过原点时，n=-$\frac{1}{3}$时，b²-4ac=0，图象与x轴，y轴各有1个交点，
综上，当n=0或-1或$-\frac{1}{3}$时，函数图象与坐标轴有两个交点．

点评 本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质和二次函数图象上坐标特征的知识，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的顶点坐标，对称轴以及开口方向等知识，第（3）需要对n进行分类讨论，此题有一定的难度．