题目内容
8．已知：矩形ABCD，AB=4，BC=10，动点P从点B开始向点C运动，动点P速度为每秒1个单位，以AP为轴，把△ABP折叠，得△AB′P与矩形ABCD重叠部分面积为y，运动时间为t秒．
（1）当运动到第几秒时点B′恰好落在AD上；
（2）求y关于t的关系式，以及t的取值范围；
（3）在第几秒时重叠部分面积是矩形ABCD面积的$\frac{1}{4}$；
（4）连接PD，以PD为轴，将△PCD作轴对称变换，得到△PC′D，当t为何值时，点P，B′，C′在同一直线上？
分析 （1）点B′落在AD上时，四边形ABPB′为正方形，所以t=4；
（2）分两种情况讨论：①当0≤t≤4时，如图2，重叠部分面积就是△APB′的面积，即△APB的面积；
②当4＜t≤10时，如图3，重叠部分面积就是△APE的面积，先根据勾股定理表示出AE的长，再利用面积公式求△APE的面积；
（3）分别将①和②中的y等于矩形ABCD面积的$\frac{1}{4}$，求出对应的t值即可；
（4）点P，B′，C′在同一直线上时，△AB′P∽△PC′D，得$\frac{AB′}{PC′}=\frac{B′P}{C′D}$，列一元二次方程，求出t的值即可．
解答 
解：（1）如图1，由折叠得：∠AB′P=∠B=90°，AB=AB′=4，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAB′=90°，
∴四边形ABPB′为正方形，
∴BP=AB=4，
∵动点P速度为每秒1个单位，
∴t=4，
即当运动到第4秒时点B′恰好落在AD上；
（2）分两种情况：①当0≤t≤4时，如图2，PB=t，
由折叠得：S△AB′P=S△ABP，
∴y=S△ABP=$\frac{1}{2}$AB•PB=$\frac{1}{2}$×4×t=2t，
②当4＜t≤10时，如图3，
由折叠得：∠APB=∠APE，PB=PB′=t，
∵AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB，
∴∠DAP=∠APE，
∴AE=PE，
设AE=x，则PE=x，B′E=t-x，
由勾股定理得：42+（t-x）2=x2，
x=$\frac{{t}^{2}+16}{2t}$，
∴y=S△AEP=$\frac{1}{2}$AE•AB=$\frac{1}{2}$×$\frac{{t}^{2}+16}{2t}$×4=t+$\frac{16}{t}$，
综上所述：y=$\left\{\begin{array}{l}{2t（0≤t≤4）}\\{t+\frac{16}{t}（4＜t≤10）}\end{array}\right.$；
（3）①y=2t=$\frac{1}{4}$×4×10，
t=5，
②t+$\frac{16}{t}$=$\frac{1}{4}$×4×10，
t2-10t+16=0，
（t-2）（t-8）=0，
t1=2，t2=8，
综上所述：在第2秒或5秒或8秒时，重叠部分面积都是矩形ABCD面积的$\frac{1}{4}$；
（4）如图4，点P，B′，C′在同一直线上，
由折叠得：∠APB=∠APB′，∠C′PD=∠CPD，
∴∠APC′+∠C′PD=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∵∠PAB′+∠APB′=90°，
∴∠PAB′=∠C′PD，
∵∠AB′P=∠C′=90°，
∴△AB′P∽△PC′D，
∴$\frac{AB′}{PC′}=\frac{B′P}{C′D}$，
∴$\frac{4}{10-t}=\frac{t}{4}$，
∴t（10-t）=16，
解得：t1=2，t2=8，如图5所示，
∴当t为2或8时，点P，B′，C′在同一直线上．
点评 本题是四边形的综合题，也是翻折变换问题；考查了矩形、直角三角形的性质及重叠部分的面积；明确翻折变换问题其实就是轴对称问题，翻折前后的两个图形的对应边和对应角分别相等，因为是直角三角形，所以可以利用勾股定理或相似列等式求解；对于求重叠部分面积的问题，具体作法是：先找特殊位置和时间的取值范围，再认真观察动点P运动时，所形成的重叠部分分几种图形存在，再分类计算即可．
如图，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC，若AD=8，则CD=4．
如图，在△ABC中，高AH是边BC的一半，且∠C=75°，求∠B的度数．| A． | 方差反映的是一组数据的波动大小，方差的值一定是正数 | |
| B． | 已知一组数据的方差计算公式为s2=$\frac{1}{5}$（x12+x22+x32+x42+x52-20），则这组数据的平均数为4 | |
| C． | 数据1，2，2，3，3，4的众数是2 | |
| D． | 一组数据x1，x2，x3，…xn，都减去a值的平均数为m，方差为n，则这组数据的平均数为a+m，方差为n |
已知?ABCD，∠A=30°，AD⊥BD于点D，且AB=6，点P是射线BA上一动点，过点P作PE⊥BD，交BD所在直线于点E，点Q是射线CD上一动点，且CQ=2AP，以QD，QE为邻边构造?DFEQ，设BP的长度为m．
如图，在等边△ABC中，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如果MN=1，那么BC的值为（ ）