Question

19．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，AE=4，点F是边BC上一点，将△ABF沿AF折叠，使点B落在BE上的点B′处，射线DC与射线AF相交于点M，若点N是射线AF上一动点，则当△DMN是等腰三角形时，AN的长为2或5或18．

Answer 1

分析 由△ABE∽△DAM，得$\frac{AB}{DA}$=$\frac{AE}{DM}$，由此求出DM、AM，分两种情形讨论即可．

解答 解：由题意可知，AF⊥BE，
∴∠BAF+∠ABE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠D=90°，
∴∠BAF+∠DAM=90°，
∴∠DAM=∠ABE，
∴△ABE∽△DAM，
∴$\frac{AB}{DA}$=$\frac{AE}{DM}$，
∴$\frac{3}{6}$=$\frac{4}{DM}$，
∴DM=8，AM=$\sqrt{A{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
①当MN=MD时，AN=AM-DM=10-8=2或AN=AM+DM=10+8=18，
②当ND=NM时，易知点N是AM中点，所以AN=$\frac{1}{2}$AM=5，
综上所述，当AN=2或5或18时，△DMN是等腰三角形．

点评 本题考查翻折变换、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质求出DM和AM，学会分类讨论的思想，所以中考常考题型．