题目内容
17．
如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB，BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到BC边时，小球P所经过的路程为$\sqrt{5}$；当小球P第一次碰到AD边时，小球P所经过的路程为$\frac{5}{2}\sqrt{5}$；当小球P第n（n为正整数）次碰到点F时，小球P所经过的路程为$6\sqrt{5}n\;-5\sqrt{5}$．
分析 根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为$\frac{1}{2}$，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数．再由勾股定理就可以求出小球经过的路径的总长度．
解答 解：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为$\frac{1}{2}$，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得，
第二次碰撞点为G，在DA上，且DG=$\frac{1}{6}$DA，
第三次碰撞点为H，在DC上，且DH=$\frac{1}{3}$DC，
第四次碰撞点为M，在CB上，且CM=$\frac{1}{3}$BC，
第五次碰撞点为N，在DA上，且AN=$\frac{1}{6}$AD，
第六次回到E点，AE=$\frac{1}{3}$AB．
由勾股定理可以得出EF=$\sqrt{5}$，FG=$\frac{3}{2}\sqrt{5}$，GH=$\frac{1}{2}\sqrt{5}$，HM=$\sqrt{5}$，MN=$\frac{3}{2}\sqrt{5}$，NE=$\frac{1}{2}\sqrt{5}$，
当小球P第一次碰到AD边时，小球P所经过的路程为$\frac{5}{2}\sqrt{5}$，当小球P第n（n为正整数）次碰到点F时，小球P所经过的路程为6$\sqrt{5}$n-5$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$；$\frac{5}{2}\sqrt{5}$；6$\sqrt{5}$n-5$\sqrt{5}$．
点评 本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，由勾股定理来确定小球经过的路程，是一道学科综合试题，属于难题．
练习册系列答案
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12．
如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为劣弧$\widehat{CD}$上一点，PA交BD于点M，PB交AC于点N，记∠PBD=θ．若MN⊥PB，则2cos2θ-tanθ的值（ ）
如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为劣弧$\widehat{CD}$上一点，PA交BD于点M，PB交AC于点N，记∠PBD=θ．若MN⊥PB，则2cos2θ-tanθ的值（ ）| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | 1 | C． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$ |
半圆O的直径AB=9，两弦AB、CD相交于点E，弦CD=$\frac{27}{5}$，且BD=7，则DE=3$\sqrt{2}$．
如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：
如图，正方形ABCD的边长为4，Rt△FEG的直角顶点E在正方形的边DC上运动，一条直角边EF始终经过点A，另一直角边EG交正方形的边BC于点H；