Question

12．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为劣弧$\widehat{CD}$上一点，PA交BD于点M，PB交AC于点N，记∠PBD=θ．若MN⊥PB，则2cos²θ-tanθ的值（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$

Answer 1

分析 设⊙O的半径为1，则BD=2．连结PD，根据圆周角定理得出∠BPD=90°．根据三角函数定义得出PB=BD•cosθ=2cosθ，BN=$\frac{OB}{cosθ}$=$\frac{1}{cosθ}$，MN=BN•tanθ=$\frac{tanθ}{cosθ}$，由圆周角定理及正方形的性质求出∠MPN=∠APB=∠ADB=45°，那么PN=MN=$\frac{tanθ}{cosθ}$．然后根据BN+PN=PB，得到$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{tanθ}{cosθ}$=2cosθ，两边同乘cosθ，整理即可求出2cos²θ-tanθ=1．

解答 解：设⊙O的半径为1，则BD=2．连结PD，则∠BPD=90°．
在Rt△BPD中，PB=BD•cosθ=2cosθ．
在Rt△BON中，BN=$\frac{OB}{cosθ}$=$\frac{1}{cosθ}$，
在Rt△BMN中，MN=BN•tanθ=$\frac{tanθ}{cosθ}$，
在Rt△PMN中，∵∠MPN=∠APB=∠ADB=45°，
∴PN=MN=$\frac{tanθ}{cosθ}$．
∵BN+PN=PB，
∴$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{tanθ}{cosθ}$=2cosθ，
∴1+tanθ=2cos²θ，
∴2cos²θ-tanθ=1．
故选B．

点评 本题是圆的综合题，其中涉及到正方形的性质，圆周角定理，三角函数定义，设⊙O的半径为1，用含θ的代数式正确表示出PB、BN、PN的长是解题的关键．