Question

7．如图，正方形ABCD的边长为4，Rt△FEG的直角顶点E在正方形的边DC上运动，一条直角边EF始终经过点A，另一直角边EG交正方形的边BC于点H；
（1）当点E是CD中点时，试说明△AEH与△ADE相似的理由；
（2）当点E运动到什么位置时，四边形AHCD的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）首先根据已知条件证得△ADE∽△ECH，得到$\frac{AD}{CE}$=$\frac{AE}{EH}$，由于DE=CE，推出$\frac{AD}{DE}$=$\frac{AE}{EH}$，得出△ADE∽△AEH；
（2）设DE=x，四边形AHCD的面积为S，则CE=4-x，根据梯形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的顶点坐标公式得出结果．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=90°，
∵∠FEG=90°，
∴∠AED+∠DAE=∠AED+∠CEH=90°，
∴∠DAE=∠CEH=90°，
∴△ADE∽△ECH，
∴$\frac{AD}{CE}$=$\frac{AE}{EH}$，
∵DE=CE，
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{AE}{EH}$，
∵∠D=∠AEH，
∴△ADE∽△AEH；

（2）设DE=x，四边形AHCD的面积为S，则CE=4-x，
∵△ADE∽△ECH，
∴$\frac{AD}{CE}$=$\frac{DE}{CH}$，
∴$\frac{4}{4-x}$=$\frac{x}{CH}$，
∴CH=$\frac{{-x}^{2}+4x}{4}$，
∴S=$\frac{1}{2}$（$\frac{{-x}^{2}+4x}{4}$+4）×4=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+10，
∴当x=2时，S_最大值=10，
∴当DE=2时，四边形AHCD的面积最大，最大值是10．

点评 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，梯形的面积公式，关键是找准三角形相似的条件．