Question

6．如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：
①PA=PB+PC；  ②$\frac{1}{PA}=\frac{1}{PB}+\frac{1}{PC}$；  ③∠BPC=120゜；
④PA•PE=PB•PC；⑤图中共有6对相似三角形．
其中，正确结论的个数为（　　）

• A． 5个
• B． 4个
• C． 3个
• D． 2个

Answer 1

分析 根据题意：易得△APC≌△BDC．即AP=BD，有PA=DB=PB+PD=PB+PC，①正确．同时可得：②错误；同理易得△PBE∽△PAC，故有PA•PE=PB•PC；④正确．由圆内接四边形的性质可得∠BPC=120゜，③正确；因为图中共有4对相似三角形，⑤错误．

解答 解：延长BP到D，使PD=PC，连接CD，可得∠CPD=∠BAC=60°，
则△PCD为等边三角形，
∵△ABC为正三角形，
∴BC=AC
∵∠PBC=∠CAP，∠CPA=∠CDB，
∴△APC≌△BDC（AAS）．
∴PA=DB=PB+PD=PB+PC，故①正确；
由（1）知△PBE∽△PAC，则$\frac{PA}{PC}$=$\frac{PB}{PE}$，$\frac{PA}{PB}$=$\frac{PC}{PE}$，$\frac{PA}{PB}$$+\frac{PA}{PC}$=$\frac{PC}{PE}$$+\frac{PB}{PE}$≠1，
∴②错误；
∵∠BAC=60°，
∴∠PBC=120°，故③正确；
∵∠CAP=∠EBP，∠BPE=∠CPA
∴△PBE∽△PAC，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{PC}{PE}$，
∴PA•PE=PB•PC，故④正确，
∵△ABE∽△CPE，△AEC∽△BEP，△ACE∽△APC，△APC∽△BPE，△ABE∽△APB，△CPE∽△APB共6对相似三角形，故⑤正确，
故选B．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，辅助线的作法是解题的关键．