Question

9．半圆O的直径AB=9，两弦AB、CD相交于点E，弦CD=$\frac{27}{5}$，且BD=7，则DE=3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据圆周角定理得出的两组相等的对应角，易证得△AEB∽△DEC，根据CD、AB的长，即可求出两个三角形的相似比；设BE=x，则DE=7-x，然后根据相似比表示出AE、EC的长，连接BC，首先在Rt△BEC中，根据勾股定理求得BC的表达式，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求得x的值，进而可求出DE的长．

解答 解：∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，
∴△AEB∽△DEC，
∴$\frac{EC}{BE}$=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{DC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
设BE=x，则DE=7-x，EC=$\frac{3}{5}$x，AE=$\frac{5}{3}$（7-x），
连接BC，则∠ACB=90°，
Rt△BCE中，BE=x，EC=$\frac{3}{5}$x，则BC=$\frac{4}{5}$x，
在Rt△ABC中，AC=AE+EC=$\frac{35}{3}$-$\frac{16}{15}$x，BC=$\frac{4}{5}$x，
由勾股定理，得：AB²=AC²+BC²，
即：9²=（$\frac{35}{3}$-$\frac{16}{15}$x）²+（$\frac{4}{5}$x）²，
整理，得x²-14x+31=0，
解得：x₁=7+3$\sqrt{2}$（不合题意舍去），x₂=7-3$\sqrt{2}$，
则DE=7-x=3$\sqrt{2}$．
故答案为：3$\sqrt{2}$

点评 此题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识；本题要特别注意的是BE、DE不是相似三角形的对应边，它们的比不等于相似比，以免造成错解．