Question

2．已知二次函数y=ax²（a为常数），经过点A（-1，-$\frac{1}{4}$）；点F（0，-1）在y轴上，直线y=1与y轴相交于点H．
（1）求a的值；
（2）点P是二次函数y=ax²（a为常数）图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=1交于点M，试说明：FM平分∠OFP；
（3）在（2）的条件下，当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接把A点坐标代入y=ax²经过点中求出a的值，从而得到而此函数解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，设P（x，-$\frac{1}{4}$x²），根据两点间的距离公式计算出PF=$\frac{1}{4}$x²+1，再表示出MP的长，则MP=PF，所以∠PMF=∠PFM，然后证明∠PFM=∠HFM即可；
（3）利用等边三角形的性质得到∠PFM=60°，MP=MF，所以∠HFM=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到MF=2HF=4，于是得到方程$\frac{1}{4}$x²+1=4，然后解方程求出x即可得到P点坐标．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²经过点A（-1，-$\frac{1}{4}$），
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²；
（2）设P（x，-$\frac{1}{4}$x²），
而F（0，-1）
∴PF=$\sqrt{{x}^{2}+（-\frac{1}{4}{x}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$x²+1，
∵PM⊥直线y=1，
∴M（x，1），
∴MP=1-（-$\frac{1}{4}$x²）=$\frac{1}{4}$x²+1，
∴MP=PF，
∴∠PMF=∠PFM，
∵PM∥y轴，
∴∠PMF=∠HFM，
∴∠PFM=∠HFM，
∴FM平分∠OFP；
（3）∵△FPM是等边三角形，
∴∠PFM=60°，MP=MF，
∴∠HFM=60°，
在Rt△MHF中，MF=2HF=2×2=4，
∴$\frac{1}{4}$x²+1=4，解得x=±2$\sqrt{3}$，
∴P点坐标为（2$\sqrt{3}$，-3）或（-2$\sqrt{3}$，-3）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等边三角形的性质；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；把证明FM平分∠OFP转化为证明PM=PF是解决（2）小题的关键．