题目内容
12．如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形边CB、CD上，连接AF，取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．（1）连接AE，则△AEF是等腰三角形，MD、MN的数量关系是MD=MN．
（2）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则MD、MN的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图1中正方形ABCD及直角三角板ECF同时绕点C顺时针旋转90°，如图3，其他条件不变，则MD、MN的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
分析 （1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得出CE=CF，继而证出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，即△AEF是等腰三角形；依据直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的性质，可得到MN与MD的数量关系；
（2）连接AE，根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，得出BE=DF，继而证出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，再依据直角三角形斜边上中线的性质，可得DM=$\frac{1}{2}$AF，根据三角形的中位线的性质，可得MN=$\frac{1}{2}$AE，最后得出MN与MD的数量关系；
（3）先连接AE，A′F，根据等腰直角三角形的性质得出CE=CF，继而证出△ADE≌△A′D′F，得到AE=AF，再依据三角形的中位线的性质，可得DM=$\frac{1}{2}$A′F，MN=$\frac{1}{2}$AE，最后得出MN与MD的数量关系．
解答 
解：（1）∵FC=EC，DC=BC，
∴DF=BE，
又∵AB=AD，∠B=∠ADF=90°，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形，
又∵M、N分别是AF与EF的中点，
∴Rt△ADF中，DM=$\frac{1}{2}$AF，
△AEF中，MN=$\frac{1}{2}$AE，
∴DM=MN，
故答案为：等腰，DM=MN；
（2）MD=MN仍成立，
证明：连接AE，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，
又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，
∵在Rt△ADF中，点M为AF的中点，
∴DM=$\frac{1}{2}$AF，
∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$AE，
∴DM=MN；
（3）MD=MN仍成立，理由如下：
连接AE，A′F，
∵CD=CD′，CE=CF，
∴CD-CE=CD′-CF，
即DE=D′F，
又∵AD=A′D′，∠ADE=∠D′，
∴△ADE≌△A′D′F（SAS），
∴AE=A′F，
又∵点D是AA′的中点，点M为AF的中点，点N为EF的中点，
∴MN，MD分别为△AEF和△AA′F的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$AE，DM=$\frac{1}{2}$A′F，
∴MN=DM．
点评 本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题需要掌握正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的性质和判定，综合性较强，难度较大．解题时注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线等于第三边的一半，是得出线段相等数量关系的主要依据．
课堂全解字词句段篇章系列答案
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