Question

7．如图，已知O为正方形ABCD对角线的交点，CE平分∠ACB交AB于点E，延长CB到点F，使BF=BE，连接AF，交CE的延长线于点G，连接OG．
（1）求证：△BCE≌△BAF；
（2）求证：OG=OC；
（3）若AF=2-$\sqrt{2}$，求正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形，BF=BE，可利用SAS证得：△BCE≌△BAF；
（2）由△BCE≌△BAF，易证得CG⊥AF，又由CE平分∠ACB，可得△ACF是等腰三角形，G是AF的中点，继而可得OG是△ACF的中位线，则可证得结论；
（3）首先设边长为x，由（2）可表示出BF的长，然后由勾股定理得方程：（2-$\sqrt{2}$）²=[（$\sqrt{2}$-1）x]²+x²，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABF=∠EBC=90°，
在△BCE和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BA}\\{∠EBC=∠ABF}\\{BE=BF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△BAF（SAS）；

（2）∵△BCE≌△BAF，
∴∠BCE=∠BAF，
∵∠BEC=∠MEG，
∴∠AGE=∠EBC=90°，
∴CG⊥AF，
∵CE平分∠ACB，
∴AC=FC，AG=FG，
∵OA=OC，
∴OG∥BC，
∴∠OGC=∠FCG，
∵∠OCG=∠FCG，
∴∠OGC=∠OCG，
∴OG=OC；

（3）设AB=x，则AC=FC=$\sqrt{2}$x，
∴BF=FC-BC=（$\sqrt{2}$-1）x，
在Rt△ABF中，AF²=BF²+AB²，
∴（2-$\sqrt{2}$）²=[（$\sqrt{2}$-1）x]²+x²，
解得：x²=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．
∴正方形ABCD的面积为：$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意利用方程思想求解是解此题的关键．