Question

17．已知关于x的方程x²+2（m-1）x+（m²-7m-4）=0．
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x₁、x₂，且满足x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=32，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程有两个实数根可得△≥0，进而可得[2（m-1）]²-4×1×（m²-7m-4）≥0，再解即可；
（2）根据根与系数的关系可得x₁+x₂=-2（m-1），x₁•x₂=m²-7m-4，再由完全平方公式可得x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，代入x₁+x₂=-2（m-1），x₁•x₂=m²-7m-4可计算出m的值．

解答 解：（1）∵方程有两个实数根，
∴△≥0，
∴[2（m-1）]²-4×1×（m²-7m-4）≥0，
解得：m≥-1；

（2）∵方程两实数根分别为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-2（m-1），x₁•x₂=m²-7m-4，
∵x₁²+x₂²=32，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=32，
∴4（m-1）²-2（m²-7m-4）=32，
解得：m=-5，m=2，
∵m≥-1，
∴m=2．

点评 此题主要考查了根与系数的关系，以及根的判别式，关键是掌握方程有实根则△≥0，x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．