Question

11．如图1，在四边形ABCD中，E，F分别是CD，AD边上的点，AE=CF，AE，CF相交于点O，连接BE，BF，OB．
（1）如图1，若四边形ABCD是菱形，求证：BE=BF；
（2）在第（1）题的条件下，求证：OB平分∠AOC；
（3）如图2，若四边形ABCD是邻边不等的平行四边形，OB平分∠AOC的结论是否成立？若成立，请你证明；若不成立，请你说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，过B作BM⊥AE，BN⊥CF，根据菱形的性质得到AB=BC，由于S_△ABE=S_△BCF=$\frac{1}{2}$S_菱形ABCD，得到$\frac{1}{2}$AE•BM=$\frac{1}{2}$CF•BN，推出BM=CN，通过三角形全等得到∠BAM=∠BCN，证得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由（1）证得BM=BN，根据角平分线的判定定理即可得到结论；
（3）如图2，过B作BM⊥AE，BN⊥CF，根据平行四边形的性质得到S_△ABE=S_△BCF=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，于是得到$\frac{1}{2}$AE•BM=$\frac{1}{2}$CF•BN，推出BM=CN，根据角平分线的判定定理得到结论．

解答 解：（1）如图1，过B作BM⊥AE，BN⊥CF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵S_△ABE=S_△BCF=$\frac{1}{2}$S_菱形ABCD，
∴$\frac{1}{2}$AE•BM=$\frac{1}{2}$CF•BN，
∵AE=CF，
∴BM=CN，
∵BM⊥AE，BN⊥CF，
∴∠AMB=∠BNC=90°，
在Rt△ABM与Rt△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{BM=BN}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABM≌Rt△BCN，
∴∠BAM=∠BCN，
在△ABE与△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BAE=∠BCF}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=BF；

（2）由（1）证得BM=BN，
∵BM⊥AE，BN⊥CF，
∴OB平分∠AOC；

（3）如图2，过B作BM⊥AE，BN⊥CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S_△ABE=S_△BCF=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，
∴$\frac{1}{2}$AE•BM=$\frac{1}{2}$CF•BN，
∵AE=CF，
∴BM=CN，
∵BM⊥AE，BN⊥CF，
∴OB平分∠AOC；

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的性质，角平分线的判定，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．