Question

1．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H．
（1）求证：HF=AP；
（2）若正方形ABCD的边长为12，AP=4，求线段AF的长．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质和已知条件可分别证明∠FEH=∠PBA，AB=HE，进而可证明△ABP≌△HEF，由全等三角形的性质即可得到HF=AP；
（2）连接，设AF=x，则PF=BF=12-x，在△APF中利用勾股定理可得：4²+x²=（12-x）²，解方程求出x的值即可．

解答 解：（1）∵EF⊥BP，EH⊥AB，
∴∠FEH+∠EMQ=90°=∠PBA+∠BMH，
又∵∠QME=∠BMH，
∴∠FEH=∠PBA，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠D=90°，AB=AD，
∵EH⊥AB，
∴∠EHA=90°=∠A=∠D，
∴四边形ADEH是矩形，
∴AD=EH，
又∵AB=AD，
∴AB=EH，
在△ABP与△HEF中
$\left\{{\begin{array}{l}{∠A=∠FHE}\\{AB=HE}\\{∠ABP=∠HEF}\end{array}}\right.$，
∴△ABP≌△HEF（ASA），
∴AP=FH；
（2）连结PF，
∵EF垂直平分BP，
∴PF=BF，
设AF=x，则PF=BF=12-x，
∴在△APF中，4²+x²=（12-x）²，
∴x=$\frac{16}{3}$，
∴AF=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查的是正方形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．