Question

10．我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：a²±2ab+b²=（a±b）²，那么$\sqrt{{a}^{2}±2ab+{b}^{2}}$=|a±b|，那么如何将双重二次根式$\sqrt{a±2\sqrt{b}}$（a＞0，b＞0，a±2$\sqrt{b}$＞0）化简呢？如能找到两个数m，n（m＞0，n＞0），使得（$\sqrt{m}$）²+（$\sqrt{n}$）²=a即m+n=a，且使$\sqrt{m}$$•\sqrt{n}$=$\sqrt{b}$即m•n=b，那么a±2$\sqrt{b}$=（$\sqrt{m}$）²+（$\sqrt{n}$）²±2$\sqrt{m}$•$\sqrt{n}$=（$\sqrt{m}$±$\sqrt{n}$）²∴$\sqrt{a±2\sqrt{b}}$=|$\sqrt{m}$±$\sqrt{n}$，双重二次根式得以化简；
例如化简：$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$；∵3=1+2 且2=1×2，∴3+2$\sqrt{2}$=（$\sqrt{1}$）²+（$\sqrt{2}$）²+2$\sqrt{1}$×$\sqrt{2}$∴$\sqrt{3+2\sqrt{2}}$=1+$\sqrt{2}$
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成$\sqrt{a±2\sqrt{b}}$的形式，且能找到m，n（m＞0，n＞0）使得m+n=a，且m•n=b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
（1）填空：$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；$\sqrt{12+2\sqrt{35}}$=$\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$；
（2）化简：①$\sqrt{9+6\sqrt{2}}$   ②$\sqrt{16-4\sqrt{15}}$
（3）计算：$\sqrt{3-\sqrt{5}}$+$\sqrt{2+\sqrt{3}}$．

Answer 1

分析 （1）根据二次根式的性质化简即可；
（2）先把原式化为完全平方的形式，根据二次根式的性质化简；
（3）把原式化为完全平方的形式，根据二次根式的性质化简．

解答 解：（1）$\sqrt{5-2\sqrt{6}}$=$\sqrt{（{\sqrt{3}）}^{2}-2×\sqrt{3}×\sqrt{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{\sqrt{3}-\sqrt{2}）}^{2}}$=$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
$\sqrt{12+2\sqrt{35}}$=$\sqrt{（\sqrt{7}+\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$；
故答案为：$\sqrt{3}-\sqrt{2}$；$\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$；
（2）①$\sqrt{9+6\sqrt{2}}$=$\sqrt{9+2\sqrt{18}}$=$\sqrt{6+2×\sqrt{6}×\sqrt{3}+3}$=$\sqrt{（{\sqrt{6}+\sqrt{3}）}^{2}}$=$\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$；
②$\sqrt{16-4\sqrt{15}}$=$\sqrt{10-2\sqrt{10}×\sqrt{6}+6}$=$\sqrt{（\sqrt{10}-\sqrt{6}）^{2}}$=$\sqrt{10}$-$\sqrt{6}$；
（3）$\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}$=$\sqrt{（{\frac{\sqrt{10}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{2}}$+$\sqrt{（\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查的是二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质：$\sqrt{{a}^{2}}$=|a|和完全平方公式是解题的关键．