Question

18．抛物线y=ax²+bx+c的顶点为D（-1，2），与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①b²-4ac＜0；②a+b+c＜0；③2a+b=0；④c-a=2；⑤4ac-8a=b²；⑥方程ax²+bx+c-1=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（　　）

• A． 3个
• B． 4个
• C． 5个
• D． 6个

Answer 1

分析 ①根据二次函数y=ax²+bc+c的图象与x轴有两个交点，可得△＞0，即b²-4ac＞0，据此判断即可．
②根据二次函数y=ax²+bc+c的图象的对称轴是x=-1，与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，可得与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，所以x=1时，y＜0，据此判断即可．
③结合抛物线的顶点坐标来求（2a+b）的值；
④首先根据x=-$\frac{b}{2a}$，可得b=2a，所以顶点的纵坐标是$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=2，据此判断即可．
⑤根据b=2a、a=c-2进行解答；
⑥根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax²+bx+c=2，所以说方程ax²+bx+c-2=0有两个相等的实数根．

解答 解：①∵二次函数y=ax²+bc+c的图象与x轴有两个交点，
∴△＞0，
即b²-4ac＞0，
故①错误；

②∵二次函数y=ax²+bc+c的图象的对称轴是x=-1，与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，
∴与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，
∴x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
故②正确；

③∵顶点为D（-1，2），
∴-1=-$\frac{b}{2a}$，
∴2a-b=0．
故③错误

④∵x=-$\frac{b}{2a}$，
∴b=2a，
∴顶点的纵坐标是$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=2，
∴a=c-2，
故④正确；

⑤∵b=2a、a=c-2，
∴4ac-8a=4a（a+2）-8a=4a²=b²，
故⑤正确；

⑥∵当x=-1时，二次函数有最大值为2，
即只有x=-1时，ax²+bx+c=2，
∴方程ax²+bx+c-2=0有两个相等的实数根，
故⑥错误；
综上所述，正确的结论有3个．
故选：A．

点评 此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．