Question

5．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，且tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，OC是△OAB的中线，点B在第一象限，且其纵坐标为3，点B，C在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上．
（1）求k的值；
（2）求△BOC的面积．

Answer 1

分析 （1）过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，设出点B的坐标，表示点C坐标，代入反比例函数即可求出k的值；
（2）△BOC的面积，求出△AOB和△AOC的面积，求差即可．

解答 解：（1）如图

过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，
可证，CE∥BD，
设点B（$\frac{k}{3}$，3），则OD=$\frac{k}{3}$，BD=3，
∵$\frac{BD}{AD}$=tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，
∴AD=6，
∵CE∥BD，C为AB的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$BD=1.5，DE=$\frac{1}{2}$AD=3，
∴OE=3+$\frac{k}{3}$，
∴点C（3+$\frac{k}{3}$，1.5），
代入y=$\frac{k}{x}$得，k=9；
（2）由（1）得，k=9，CE=1.5，
∴OD=3，OA=OD+AD=9，
△BOC的面积=S_△AOB-S_△AOC=$\frac{1}{2}$OA×BD-$\frac{1}{2}$OA×CE=$\frac{1}{2}$×9×3-$\frac{1}{2}$×9×1.5=$\frac{27}{4}$．

点评 此题主要考查反比例函数的问题，会运用解析式设点，会用点坐标求k的值，会用三角函数求线段长度是解题的关键．