Question

17．如图，在△ABC中，以AC、BC分别向外作等边△ACF和等边△BCE，点P、M、N分别为AB、CF、CE的中点．
①求证：PM=PN；
②求证：∠MPN=60°．

Answer 1

分析 ①取AC中点G，BC中点H，连接MG、PG、PH、HN，只要证明△MGP≌△PHN即可．
②连接MN，只要证明△MCN≌△MGP即可．

解答 证明：①取AC中点G，BC中点H，连接MG、PG、PH、HN．
∵△ACF、△BCE都是等边三角形，
∴AC=AF=CF，∠CAF=∠ACF=60°，BC=CE=BE，∠CBE=∠BCE=60°，
∵CM=MF，CG=AG，
∴GM∥AF，GM=$\frac{1}{2}$AF，同理PH=$\frac{1}{2}$AC，PH∥AC，PG=$\frac{1}{2}$BC，PG∥AC，HN=$\frac{1}{2}$BE，HN∥BE，
∴GM=PH，PG=HN，
∴∠CGM=∠CAF=60°，∠CHN=∠CBE=60°，四边形CHPG是平行四边形，
∴∠CGP=∠CHP，∠CGM=∠CHN，
∴∠MGP=∠PHN，
在△MGP和△PHN中，
$\left\{\begin{array}{l}{MG=PH}\\{∠MGP=∠PHN}\\{PG=HN}\end{array}\right.$，
∴△MGP≌△PHN，
∴PM=PN．
②连接MN．
∵∠MCN=360°-∠ACF-∠BCE-∠ACB=360°-60°-60°-（180°-∠CGP）=60°+∠CGP=∠MGP，
在△MCN和△MGP中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=MG}\\{∠MGP=∠PHN}\\{PG=HN}\end{array}\right.$，
∴△MGP≌△PHN，
∴MN=PM=PN，
∴△PMN是等边三角形，
∴∠MPN=60°．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形中位线性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形中位线性质也是解题关键，属于中考常考题型．