Question

16．已知：如图，动点P在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，线段PM、PN分别与直线AB：y=-x+1交于点E、F，且AF•BE的值为1，则k为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设P的坐标为（a，$\frac{k}{a}$），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么BN、NF、BN的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后根据AF•BE=1，即可得到结论．

解答 解：作FG⊥x轴，
∵P的坐标为（a，$\frac{k}{a}$），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐标为（0，$\frac{k}{a}$），M点的坐标为（a，0），
∴BN=1-$\frac{k}{a}$，
在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形），
∴NF=BN=1-$\frac{k}{a}$，
∴F点的坐标为（1-$\frac{k}{a}$，$\frac{k}{a}$），
同理可得出E点的坐标为（a，1-a），
∴AF²=（1-1+$\frac{k}{a}$）²+（$\frac{k}{a}$）²=$\frac{2{k}^{2}}{{a}^{2}}$，BE²=（a）²+（-a）²=2a²，
∴AF²•BE²=$\frac{2{k}^{2}}{{a}^{2}}$•2a²=1，k=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数的性质，关键是通过反比例函数上的点P来确定E、F两点的坐标，进而通过坐标系中两点的距离公式得出所求的值．