Question

2．如图，圆的半径等于正三角形ABC的高，此圆在沿底边AB滚动，切点为T，圆交AC、BC于M、N，则对于所有可能的圆的位置而言，$\widehat{MTN}$的度数为（　　）

• A． 从30°到60°变动
• B． 从60°到90°变动
• C． 保持30°不变
• D． 保持60°不变

Answer 1

分析 过点O作OH∥AC，交AB与点H，交BC于点Z，过点O作OE∥BC，交AB的延长线于点E，连接OM，ON，过点M作MG⊥OH于点G，作NK⊥OE于点K，根据△ACB是等边三角形可知∠A=∠ACB=∠ABC=60°，故可判断出∠HOE=60°，再由HL定理得出△OMG≌△ONK，故可得出∠MOG=∠KON，故∠MON=60°，由此可得出结论．

解答 解：过点O作OH∥AC，交AB与点H，交BC于点Z，过点O作OE∥BC，交AB的延长线于点E，连接OM，ON，过点M作MG⊥OH于点G，作NK⊥OE于点K，
∵△ACB是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°．
∵OE∥BC，
∴∠ACB=∠CZO=60°．
∴∠HZB=60°．
∵OE∥CB，
∴∠EOH=∠HZB=60°．
∵OC∥AB，
∴四边形AHOC是平行四边形，
∴∠A=∠COZ=60°，
∴△OZC是等边三角形，
∵MG⊥OH，NK⊥OH，
∴MG，NK均为△OZC的高，
∴MG=NK．
在Rt△OMG与Rt△ONK中，
∵$\left\{\begin{array}{l}OM=ON\\ MG=NK\end{array}\right.$，
∴△OMG≌△ONK（HL），
∴∠MOG=∠KON，
∴∠MON=60°，
∴$\widehat{MTN}$的度数为60°．
故选D．

点评 本题考查的是切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形及等边三角形，利用圆心角与弧的关系求解是解答此题的关键．