Question

15．已知，如图1在锐角△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE与AD交于点F．
（1）若BF=5，DC=3，求AB的长；
（2）在图1上过点F作BE的垂线，过点A作AB的垂线，链条垂线交于点G，连接BG，得如图2．
①求证：∠BGF=45°；
②求证：AB=AG+$\sqrt{2}$AF．

Answer 1

分析 （1）如图1中，由△BDF≌△ADC，可得DF=DC=3，在Rt△BDF中，BD=$\sqrt{B{F}^{2}-D{F}^{2}}$=4，可得AB=$\sqrt{2}$BD=4$\sqrt{2}$；
（2）（2）①由△AOG≌△FOB，推出$\frac{OG}{OB}$=$\frac{OA}{OF}$，推出$\frac{OG}{OA}$=$\frac{OB}{OF}$，又∠BOG=∠AOF，推出△BOG∽△FOA，可得∠BGO=∠OAF=45°；
②如图2中，在AB上截取AM=AG，则∠MGA=∠BGF=45°，推出∠BCM=∠FCA，由BC=$\sqrt{2}$FG，GM=$\sqrt{2}$AC，可得$\frac{BG}{GF}$=$\frac{GM}{GA}$=$\sqrt{2}$，推出△BGM∽△FGA，可得$\frac{BM}{AF}$=$\frac{BG}{GF}$=$\sqrt{2}$，推出BM=$\sqrt{2}$AF，由此即可解决问题；

解答 （1）解：如图1中，

∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，△ADB是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，
∴∠AEF=∠BDF=90°，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠EAF=∠FBD，∵∠BDF=∠ADC=90°，
∴△BDF≌△ADC，
∴DF=DC=3，
在Rt△BDF中，BD=$\sqrt{B{F}^{2}-D{F}^{2}}$=4，
∴AB=$\sqrt{2}$BD=4$\sqrt{2}$．

（2）①证明：如图2中，设AB交GF于O．

∵∠GAO=∠OFB=90°，∠AOG=∠BOF，
∴△AOG≌△FOB，
∴$\frac{OG}{OB}$=$\frac{OA}{OF}$，
∴$\frac{OG}{OA}$=$\frac{OB}{OF}$，∵∠BOG=∠AOF，
∴△BOG∽△FOA，
∴∠BGO=∠OAF=45°，
∴∠BGF=45°．

②证明：如图2中，在AB上截取AM=AG，则∠MGA=∠BGF=45°，
∴∠BCM=∠FCA，
∵BC=$\sqrt{2}$FG，GM=$\sqrt{2}$AC，
∴$\frac{BG}{GF}$=$\frac{GM}{GA}$=$\sqrt{2}$，
∴△BGM∽△FGA，
∴$\frac{BM}{AF}$=$\frac{BG}{GF}$=$\sqrt{2}$，
∴BM=$\sqrt{2}$AF，
∴AB=AM+BM=AG+$\sqrt{2}$AF．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．