Question

18．阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：
计算（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）
=（2+1）（2-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）
=（2⁸-1）（2⁸+1）
=2¹⁶-1
请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：
（1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）=2³²-1．
（2）（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）=$\frac{{{3^{32}}-1}}{2}$．
（3）化简：（m+n）（m²+n²）（m⁴+n⁴）（m⁸+n⁸）（m¹⁶+n¹⁶）．

Answer 1

分析 （1）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；
（2）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；
（3）分m=n与m≠n两种情况，化简得到结果即可．

解答 解：（1）原式=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）=2³²-1；
故答案为：2³²-1
（2）原式=$\frac{1}{2}$（3-1）（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）=$\frac{{{3^{32}}-1}}{2}$；
故答案为：$\frac{{3}^{32}-1}{2}$；
（3）（m+n）（m²+n²）（m⁴+n⁴）（m⁸+n⁸）（m¹⁶+n¹⁶）．
当m≠n时，原式=$\frac{1}{m-n}$（m-n）（m+n）（m²+n²）（m⁴+n⁴）（m⁸+n⁸）（m¹⁶+n¹⁶）=$\frac{{{m^{32}}-{n^{32}}}}{m-n}$；
当m=n时，原式=2m•2m²…2m¹⁶=32m³¹．

点评 此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．