Question

14．如图，已知四边形ABCD中，AB=10厘米，BC=8厘米，CD=12厘米，∠B=∠C，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由．
（2）当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等．

Answer 1

分析 （1）经过1秒后，可得BP=CQ=3，则PC=8-3=5，可证明△BPE≌△CQP；
（2）由△BPE与△CQP全等可知有△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，全等可得BP=CP或BP=CQ，或可求得BP的长，可求得P点运动的时间，由CQ=BE或CQ=BP可求得Q点运动的路程，可求得其速度．

解答 解：
（1）全等，理由如下：
当运动1秒后，则BP=CQ=3cm，
∴PC=BC-BP=8cm-3cm=5cm，
∵E为AB中点，且AB=10cm
∴BE=5cm，
∴BE=PC，
在△BPE和△CQP中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=PC}\\{∠B=∠C}\\{BP=CQ}\end{array}\right.$
∴△BPE≌△CQP（SAS）；
（2）∵△BPE与△CQP全等，
∴有△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ，
当△BEP≌△CQP时，
则BP=CP，CQ=BE=5cm，
设P点运动的时间为t秒，
则3t=8-3t，解得t=$\frac{4}{3}$秒，
∴Q点的速度=5÷$\frac{4}{3}$=$\frac{15}{4}$（cm），
当△BEP≌△CPQ时，
由（1）可知t=1（秒），
∴BP=CQ=3，
∴Q点的速度=3÷1=3（cm），
即当Q点每秒运动$\frac{15}{4}$cm或3cm时△BEP≌△CQP．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL