Question

14．如图，已知△ABF≌△ACF≌△DBF，∠FAB：∠ABF：∠AFB=4：7：25．
（1）求△ABF各内角的度数；
（2）延长AF交BD于点G，求证：AG是△ABC的高；
（3）求∠CFD的度数；
（4）求∠AED的度数．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的内角和等于180°分别进行计算即可得解；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠CAF，然后根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；
（3）根据全等三角形对应角相等可得∠AFC=∠BFD=∠AFB，再根据周角等于360°列式求出∠AFE，然后根据∠CFD=∠AFC-∠AFE计算即可得解；
（4）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AED=∠FAC+∠AFE，然后计算即可得解．

解答 （1）解：∵∠FAB：∠ABF：∠AFB=4：7：25，
∴∠FAB=180°×$\frac{4}{4+7+25}$=20°，
∠ABF=180°×$\frac{7}{4+7+25}$=35°，
∠AFB=180°×$\frac{25}{4+7+25}$=125°；

（2）证明：∵△ABF≌△ACF，
∴AB=AC，∠BAF=∠CAF，
∴AG是等腰△ABC顶角的平分线，
∴AG是△ABC的高（等腰三角形三线合一）；

（3）解：∵△ABF≌△ACF≌△DBF，
∴∠AFC=∠BFD=∠AFB=125°，
∴∠AFE=360°-∠AFB-∠BFD=360°-125°-125°=110°，
∴∠CFD=∠AFC-∠AFE=125°-110°=15°；

（4）解：∵△ABF≌△ACF，
∴∠FAC=∠FAB=20°，
由三角形的外角性质得，∠AED=∠FAC+∠AFE=20°+110°=130°．

点评 本题考查了全等三角形对应角相等，全等三角形对应边相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形的内角和定理，综合题但难度不大，熟记性质与定理并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．