Question

19．如图，正方形ABCD的边长为4，点P为线段AD上的一动点（不与点A、D重合），以BP为直径作半圆，圆心为点O，半圆O边BC交于点K，线段OF∥AD，且与CD相交于点F，与半圆O相交于点E，设AP=x．
（1）当x为何值时，四边形OBKE为菱形；
（2）当半圆O与CD相切时，试求x的值．

Answer 1

分析 （1）连接PK，当OE=BK时，四边形OBKE是菱形，据此即可列方程求得；
（2）当半圆O与CD相切时，延长EO与AB相交于M，在Rt△OBM中，根据勾股定理可求解．

解答 解：（1）连接PK．
∵BP是直径，
∴∠BKP=90°，
∵在正方形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，
∴四边形ABKP是矩形，
∴BK=AP=x，
又AB=4，
∴BP=$\sqrt{{4}^{2}+{x}^{2}}$=$\sqrt{16+{x}^{2}}$．
∵OF∥BC，OE=OB，
∴当OE=BK时，四边形OBKE是菱形．
此时$\frac{1}{2}$$\sqrt{16+{x}^{2}}$=x，
∵x＞0，
∴x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；

（2）如图，当半圆O与CD相切时，
延长EO与AB相交于M．
∵OF∥AD，
∴OF⊥CD，
∴此时点E与点F重合．
∵OF∥AD，且O是BP的中点，
∴BM=2，OM=$\frac{x}{2}$．
∴OE=OF=4-$\frac{x}{2}$．
在Rt△OBM中，根据勾股定理可得4+（$\frac{x}{2}$）²=（4-$\frac{x}{2}$）²，
解得x=3，即AP=3时，半圆O与CD相切．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的切线的判定定理、菱形的判定方法、正方形的性质；会运用勾股定理进行几何计算．