Question

4．如图，在△ABC中，已知D、E、F分别是AB、BC、CA的中点．
（1）求证：△DBE≌△FEC；
（2）判断四边形ADEF的形状，并加以证明；
（3）在题目的已知条件中，添加一个适当的条件后，使四边形ADEF成为菱形，请写出你添加的条件，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形中位线定理可得DE∥AB，EF∥AB，根据ASA即可证明△DBE≌△FEC．
（2）结论：四边形ADEF是平行四边形．根据时间中位线定理即可证明．
（3）结论：当AB=AC时，四边形ADEF是菱形．只要证明AD=AF即可解决问题．

解答 （1）证明：∵BD=DA，BE=EC，
∴DE∥AC，
∴∠BED=∠C，
∵CE=EB，CF=FA，
∴EF∥AB，
∴∠B=∠FEC，
在△DBE和△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠FEC}\\{BE=EC}\\{∠BED=∠C}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△FEC．

（2）解：结论：四边形ADEF是平行四边形．
理由：由（1）可知，DE∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形．

（3）解：当AB=AC时，四边形ADEF是菱形．
理由：∵AD=$\frac{1}{2}$AB，AF=$\frac{1}{2}$AC，AB=AC，
∴AD=AF，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形．

点评 本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、菱形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．