题目内容
8．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．请解决下列问题：
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM．若AM=2，MN=3，求BN的长；
（2）如图2，若点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点．
分析 （1）由M、N为线段AB的勾股分割点，利用题中的新定义列出关系式，将MN与AM的长代入求出BN的长即可；
（2）由F、M、N、G分别为各边中点，得到FM、MN、NG分别为中位线，利用中位线定理得到BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，再利用题中新定义列出关系式，即可得证．
解答 （1）解∵点M，N是线段AB的勾股分割点，且BN＞MN＞AM，AM=2，MN=3，
∴BN2=MN2+AM2=9+4=13，
∴BN=$\sqrt{13}$；
（2）证明∵点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点，
∴FM、MN、NG分别是△ABD、△ADE、△AEC的中位线，
∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，
∵点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE＞BD，
∴EC2=DE2+DB2，
∴4NG2=4MN2+4FM2，
∴NG2=MN2+FM2，
∴点M，N是线段FG的勾股分割点．
点评 此题考查了勾股定理，弄清题中的新定义是解本题的关键．
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