Question

14．如图（1），在平面直角坐标系中，直线AB、AC分别与x轴相交于点B、C，tan∠ACB=$\frac{3}{5}$，直线AB的解析式为y=x+7，AC与y轴交于点E（0，$\sqrt{34}$），AB与y轴交于点F．
（1）直接填空：直线AC的函数解析式为y=-$\frac{3}{5}$x+$\sqrt{34}$，原点O到直线AC的距离=5；
（2）如图2，平行于y轴的直线1从点B出发，沿x轴向终点O移动，速度为1单位/秒，移动过程中直线1分别与直线AB和x轴交于点K、S，以KS为一边，作正方形KSMN，使该正方形与原点O在直线l的同侧，设移动时间为t，求出正方形KSMN与△ABC重叠部分的面积S与移动的时间t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）已知点H（5，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在O，P，Q为顶点的三角形与△OHP全等，且这两个三角形在OP的异侧？若存在，请直接写出所有符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数先求OC的长，写出C的坐标，利用待定系数法求直线AC的解析式，作垂线段OG，利用三角函数求OG的长即可；
（2）分三种情况：
①先计算当N在直线AC上时，如图4，求出t的值；当0≤t≤$\frac{21+5\sqrt{34}}{11}$时，如图3，正方形KSMN与△ABC重叠部分的面积是正方形KSMN，②当K与A重合时，如图5，求出此时t的值，当$\frac{21+5\sqrt{34}}{11}$＜t≤$\frac{21+5\sqrt{34}}{8}$时，如图6，正方形KSMN与△ABC重叠部分的面积是五边形GKSMH的面积，③当$\frac{21+5\sqrt{34}}{8}$＜t≤7时，如图7，设KS与AC交于G，MN于AC交于H，则正方形KSMN与△ABC重叠部分的面积是梯形GSMH的面积，分别表示其面积S即可；
（3）存在两种情况：①通过观察可以发现Q点与点G重合，通过直线求出点P坐标即可．
②如图9，P与E重合，P的坐标就是点E的坐标．

解答 解：（1）如图1，∵E（0，$\sqrt{34}$），
∴OE=$\sqrt{34}$，
Rt△OEC中，tan∠ACB=$\frac{3}{5}=\frac{OE}{OC}$，
∴$\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{34}}{OC}$，
∴OC=$\frac{5\sqrt{34}}{3}$，
∴C（$\frac{5\sqrt{34}}{3}$，0），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把E（0，$\sqrt{34}$）和C（$\frac{5\sqrt{34}}{3}$，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{34}}\\{\frac{5\sqrt{34}}{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{5}}\\{b=\sqrt{34}}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=-$\frac{3}{5}$x+$\sqrt{34}$，
过O作OG⊥AC于G，
在Rt△OEC中，由勾股定理得：EC=$\sqrt{（\sqrt{34}）^{2}+（\frac{5\sqrt{34}}{3}）^{2}}$=$\frac{34}{3}$，
在Rt△OGC中，sin∠ACB=$\frac{OE}{EC}=\frac{OG}{OC}$，
∴$\frac{\sqrt{34}}{\frac{34}{3}}$=$\frac{OG}{\frac{5\sqrt{34}}{3}}$，
∴OG=5，
则原点O到直线AC的距离为5，
故答案为：y=-$\frac{3}{5}$x+$\sqrt{34}$；5；

（2）分三种情况：
当x=0时，y=7，
当y=0时，x=-7，
∴B（-7，0），F（0，7），
∴OB=OF=7，
∴△OBF是等腰直角三角形，
∴∠FBO=45°，
∵四边形KSMN是正方形，
∴∠KSM=90°，KS=SM，
∴△ASK是等腰直角三角形，
∴AS=KS=t，
当M与O重合时，如图2，
由AM=7得：2t=7，
t=3.5，
①当N在直线AC上时，如图4，
∴BS=KS=SM=t，
∴MC=OB+OC-2t=7+$\frac{5\sqrt{34}}{3}$-2t，
tan∠ACB=$\frac{3}{5}=\frac{MN}{MC}$，
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{t}{7+\frac{5\sqrt{34}}{3}-2t}$，
t=$\frac{21+5\sqrt{34}}{11}$，
当0≤t≤$\frac{21+5\sqrt{34}}{11}$时，如图3，正方形KSMN与△ABC重叠部分的面积是正方形KSMN，
∴S=S_{正方形KSMN}=t²，
②当K与A重合时，如图5，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=x+7}\\{y=-\frac{3}{5}x+\sqrt{34}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-35+5\sqrt{34}}{8}}\\{y=\frac{21+5\sqrt{34}}{8}}\end{array}\right.$，
∴t=BS=AS=$\frac{21+5\sqrt{34}}{8}$，
当$\frac{21+5\sqrt{34}}{11}$＜t≤$\frac{21+5\sqrt{34}}{8}$时，如图6，正方形KSMN与△ABC重叠部分的面积是五边形GKSMH的面积，
MC=7+$\frac{5\sqrt{34}}{3}$-2t，
tan∠ACB=$\frac{MH}{CM}=\frac{3}{5}$，
∴MH=$\frac{3}{5}$CM=$\frac{3}{5}$（7+$\frac{5\sqrt{34}}{3}$-2t）=$\frac{21}{5}+\sqrt{34}-\frac{6}{5}t$，
∴NH=t-MH=$\frac{11}{5}t-\frac{21}{5}-\sqrt{34}$，
∵KN∥SM
∴∠NGH=∠ACB
∴tan∠NGH=$\frac{NH}{GN}=\frac{3}{5}$，
∴GN=$\frac{5}{3}NH$=$\frac{11}{3}t-7-\frac{5\sqrt{34}}{3}$，
∴S=S_{正方形KSMN}-S_△GNH，
=t²-$\frac{1}{2}$GN•NH，
=t²-$\frac{1}{2}$（$\frac{11}{3}t-7-\frac{5\sqrt{34}}{3}$）（$\frac{11}{5}t-\frac{21}{5}-\sqrt{34}$），
=-$\frac{91}{30}{t}^{2}+\frac{462+110\sqrt{34}}{30}t-\frac{1291+210\sqrt{34}}{30}$；
③当$\frac{21+5\sqrt{34}}{8}$＜t≤7时，如图7，设KS与AC交于G，MN于AC交于H，则正方形KSMN与△ABC重叠部分的面积是梯形GSMH的面积，
MC=7+$\frac{5\sqrt{34}}{3}$-2t，MH=$\frac{21}{5}+\sqrt{34}$-$\frac{6}{5}t$，
同理得：SG=$\frac{3}{5}（7+\frac{5\sqrt{34}}{3}-t）$=$\frac{21}{5}+\sqrt{34}-\frac{3}{5}t$，
∴S=S_梯形GSMH=$\frac{1}{2}$（MH+SG）•SM=$\frac{1}{2}$（$\frac{21}{5}+\sqrt{34}-\frac{6t}{5}+\frac{21}{5}+\sqrt{34}-\frac{3t}{5}$）•t=-$\frac{9}{10t}{t}^{2}+（\frac{21}{5}+\sqrt{34}）t$；
综上所述，S与移动的时间t的函数关系式为：
①S=t²（0≤t≤$\frac{21+5\sqrt{34}}{11}$）；
②S=-$\frac{91}{30}{t}^{2}+\frac{462+110\sqrt{34}}{30}t-\frac{1291+210\sqrt{34}}{30}$（$\frac{21+5\sqrt{34}}{11}＜t≤\frac{21+5\sqrt{34}}{8}$）；
③S=-$\frac{9}{10}{t}^{2}+（\frac{21}{5}+\sqrt{34}）t$（$\frac{21+5\sqrt{34}}{8}＜t≤7$）；
（3）存在．
①当点Q在AC上时，OG=OF=5，如图8，
∵点Q即为点G，
∴△OPQ≌△OPH，
∵F（5，0），直线CE解析式为：y=-$\frac{3}{5}$x+$\sqrt{34}$，
∴P（5，-3+$\sqrt{34}$）．
②当P与E重合时，如图9，
∴△POQ≌△POH，
∴Q（-5，0），P（0，$\sqrt{34}$）；
综上所述，点P（5，-3+$\sqrt{34}$）或（0，$\sqrt{34}$）．

点评 本题是一次函数的综合题，考查了一次函数综合应用，同时题目对面积求解、全等三角形进行考查，题目运算较难，需要注意运算的正确性，在计算重叠部分图形的面积时，利用数形结合的思想，先计算特殊位置时对应的t值，再根据图形特点分类讨论．