Question

6．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，-a²）（a＞0）在y轴的负半轴上，过点A作x轴的平行线，分别交抛物线C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²（x＞0）于点M，交抛物线C₂：y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$（x＞0）于点N，连接OM，ON．
（1）填空：当a=1时，$\frac{AM}{AN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；当a=2时，$\frac{AM}{AN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；当a=3时，$\frac{AM}{AN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；由上可猜想：对于任意正数a，都有$\frac{AM}{AN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；证明你的猜想；
（2）当△OAM和△OAN中有一个是等腰三角形时，S_△OAN-S_△OAM的值；
（3）过点M作y轴平行线交抛物线C₂于点E，过点N作y轴的平行线交抛物线C₁于点F，在y轴上任取一组关于点O对称的点B，B′，连接BE，BM，B′F，B′N，求S_△BDA与S_△MFN的比值．

Answer 1

分析 （1）当a=1时点A坐标是（0，-1），分别求出-$\frac{1}{2}$x²=-1、-$\frac{1}{4}{x}^{2}$=-1时x的值，可得AM、AN的长度，继而可得$\frac{AM}{AN}$，当a=2、a=3及任意正数a时，相同作法可得；
（2）△OAM和△OAN中有一个是等腰三角形有两种可能：①当△OAM为等腰三角形时，AM=OA=-a²，②当△OAN为等腰三角形时，AN=OA，分别求出每种情况下△OAM和△OAN的面积即可；
（3）由M、N两点的纵坐标-a²表示出ME、NF的长及两点到y轴距离，进而可得△BDA、△MFN的面积表达式，即可知S_△BDA与S_△MFN的比值．

解答 解：（1）当a=1时，点A坐标为（0，-1），
由-$\frac{1}{2}$x²=-1得x=$±\sqrt{2}$，即AM=$\sqrt{2}$，
由-$\frac{1}{4}{x}^{2}$=-1得x=±2，即AN=2，则$\frac{AM}{AN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当a=2时，点A坐标为（0，-4），
由-$\frac{1}{2}$x²=-4得x=$±2\sqrt{2}$，即AM=2$\sqrt{2}$，
由-$\frac{1}{4}{x}^{2}$=-4得x=±4，即AN=4，则$\frac{AM}{AN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当a=3时，点A的坐标为（0，-9），
由-$\frac{1}{2}$x²=-9得x=$±3\sqrt{2}$，即AM=3$\sqrt{2}$，
由-$\frac{1}{4}{x}^{2}$=-9得x=±6，即AN=6，则$\frac{AM}{AN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
对于任意正数a，都有$\frac{AM}{AN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
证明：当y=-a²时，由-$\frac{1}{2}$x²=-a²（x＞0），解得x=$\sqrt{2}$a，
由-$\frac{1}{4}$x²=-a²（x＞0），解得x=2a，
∴AM=$\sqrt{2}$a，AN=2a，
∴$\frac{AM}{AN}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）显然∠OAM=∠OAN=90°．
①当△OAM为等腰三角形时，AM=OA=-a²，
∴-$\frac{1}{2}$a⁴=-a²（a＞0），解得a=$\sqrt{2}$，此时x=2，
∴S_△OAM=2．
当a=$\sqrt{2}$时，-$\frac{1}{4}$x²=-2，解得x=2$\sqrt{2}$，
∴S_△OAN=2$\sqrt{2}$，
∴S_△OAN-S_△OAM=2$\sqrt{2}$-2．
②当△OAN为等腰三角形时，AN=OA，
∴-$\frac{1}{4}$a⁴=-a²（a＞0），解得a=2，此时x=4，
∴S_△OAN=8．
当a=2时，-$\frac{1}{2}$x²=-4，解得x=2$\sqrt{2}$，
∴S_△AOM=4$\sqrt{2}$，
∴S_△OAN-S_△OAM=8-4$\sqrt{2}$．
（3）由-$\frac{1}{2}$x²=-a²（x＞0），解得x=$\sqrt{2}$a．
当x=$\sqrt{2}$a时，y=-$\frac{1}{4}$x²=-$\frac{1}{2}$a²，
∴EM=$\frac{1}{2}$a²，
∴S_△BEM=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a³．
由-$\frac{1}{4}$x²=-a²（x＞0），解得x=2a．
当x=2a时，y=-$\frac{1}{2}$x²=2a²，
∴NF=a²，
S_△B′NF=a³，
∴$\frac{{S}_{△BEM}}{{S}_{△B'FN}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^{3}}{{a}^{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$
∴S_△BEM与S_△B′FN的比值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：（1）$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用能力及三角形的面积，根据点A的坐标结合函数表达式表示出计算所需线段的长度是解题的关键．