Question

3．如图，△ABC中，AB=AC，点D是任意一点，∠BDA+∠ABC=180°
（1）如图1，求证：∠BCA=∠CDA；
（2）如图2，当点D是AC边垂直平分线上的点时，若BD=4，AC=6$\sqrt{7}$，求点D到AC所在直线的距离．

Answer 1

分析 （1）如图1中，只要证明A、C、B、D四点共圆即可．
（2）如图2中，作DE⊥AC于E，AM⊥BD于M、AN⊥CD于N，设DM=DN=x，AM=AN=y，列出方程组解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB+∠ABC=180°，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∴A、C、B、D四点共圆，
∴∠ADC=∠ABC=∠ACB．
（2）如图2中，作DE⊥AC于E，AM⊥BD于M、AN⊥CD于N，

∵A、C、B、D四点共圆，
∴∠ADM=∠ACB=∠ADM，
∴AM=AN，
在△AMD和△AND中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△AND，
∴DM=DN，设DM=DN=x，AM=AN=y，
在△ACN和△ABM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{AN=AM}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△ABM，
∴CN=BM，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（x+4）^{2}+{y}^{2}=（6\sqrt{7}）^{2}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=（x+x+4）^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=3\sqrt{19}}\end{array}\right.$，（x＜O，y＜O已经舍弃）．
∵$\frac{1}{2}$•AC•DE=$\frac{1}{2}$•DC•AN，
∴DE=$\frac{DC•AN}{AC}$=$\frac{14×3\sqrt{19}}{6\sqrt{7}}$=$\sqrt{133}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，解题的关键是利用方程组解决问题，根据角平分线的性质定理添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．