Question

1．如图，△ABC中，∠A=60°，在AC上截取AD=AB，E为AB上一点，且BE=CD，过点E作BD的垂线，分别交BD、BC于F、G，连接EC交BD于H．
（1）若E为AB的中点，BD=4，求EF的长；
（2）求证：FH=DH+$\frac{1}{2}$BE．

Answer 1

分析 （1）先证明△ABC为等边三角形，得到AB=BD=4，进而求得BE=2，在Rt△EBF中，∠EBF=60°，得到∠BEF=30°，求出BF=$\frac{1}{2}$BE=1．再利用勾股定理即可解答；
（2）取FM=BF，由EF⊥BM，BF=FM，知BE=EM=CD，再证明△EMH≌△CDH，得到DH=HM，从而FH=FM+MH=BF+DH=$\frac{1}{2}$BE+DH．

解答 解：（1）∵∠A=60°，AD=AB，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=BD=4，
∵E为AB的中点，
∴BE=2，
在Rt△EBF中，∠EBF=60°，
∴∠BEF=30°
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=1．
∴EF=$\sqrt{B{E}^{2}-B{F}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$．
（2）如图，取FM=BF，由EF⊥BM，BF=FM，知BE=EM=CD，

又∵∠BEF=∠FEM=30°，
∴∠BEM=∠A=60°，
∴EM∥AC，
∴∠MEH=∠HCD，∠EHM=∠CHD，
在△EMH和△CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MEH=∠HCD}\\{EM=CD}\\{∠EHM=∠CHD}\end{array}\right.$
∴△EMH≌△CDH，
∴DH=HM，
∴FH=FM+MH=BF+DH=$\frac{1}{2}$BE+DH．

点评 本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．