Question

16．如图，小李在山坡坡脚A处测得他所在小区信号塔塔尖C的仰角为70°，在山坡上的点D处有一坐台，在点D处测得点C的仰角为45°，经侧量知信号塔塔底O距离山坡坡脚A的距离为200米，坡面的铅直高度与水平宽度的比为1：2，试根据以上数据求出信号塔塔尖：C与坐台D的距离．（结果保留整数，参考数据：cos70°≈0.34，sin70°≈0.94，tan70°≈2.75，$\sqrt{2}$=1.41）

Answer 1

分析 作DE⊥OB于点E，DF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，根据CO=AO•tan70°，求出CO，设DE=x米，得出AE=2x，在Rt△DCF中，根据∠CDF=45°，得出CF=CO-FO=DF=OA+AE，求出x的值，再根据CF=CO-FO，求出CF，最后根据CD=$\frac{CF}{sin45°}$，求出C与坐台D的距离即可．

解答 解：作DE⊥OB于点E，DF⊥CO于点F，
在Rt△AOC中，AO=200，∠CAO=70°，
∴CO=AO•tan70°=550（米）．
设DE=x米，
∵tan∠DAB=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴AE=2x，
在Rt△DCF中，∠CDF=45°，CF=CO-FO=550-x，DF=OA+AE=200+2x，
∵DF=CF，
∴550-x=200+2x，
解得：x=$\frac{350}{3}$≈167（米），
∴CF=CO-FO=550-167=383（米），
∴CD=$\frac{CF}{sin45°}$=$\frac{383}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$≈543（米）．
答：信号塔塔尖OC高为550米，C与坐台D的距离是543米．

点评 本题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．