Question

11．AB是⊙O的直径，且AB=2，OC⊥AB，垂足为点O，弧AD：弧DC=2：1，在OC上有一动点P，则PA+PD的最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作点D关于OC的对称点D′，连接AD′交OC于点P，此时PA+PD最小，这个最小值=PA+PD=PA+PD′=AD′，连接PD，BD′，在RT△ABD′中求出AD′即可．

解答 解：如图，作点D关于OC的对称点D′，连接AD′交OC于点P，此时PA+PD最小，这个最小值=PA+PD=PA+PD′=AD′，连接PD，BD′．

∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BD′}$，$\widehat{CD}$=$\widehat{CD′}$，$\widehat{AD}$：$\widehat{CD}$=2：1，
∴$\widehat{BD′}$：$\widehat{CD′}$=2：1，
∵∠BOC=90°，
∴∠BOD′=60°，∠BAD=30°，
∵AB是直径，
∴∠AD′B=90°，
∴BD′=$\frac{1}{2}$AB=1，AD′=$\sqrt{A{B}^{2}-BD{′}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴PA+PD的最小值为$\sqrt{3}$，
故答案为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查轴对称最短问题、圆、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是利用轴对称找到点P的位置，再利用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．