Question

6．已知⊙O的半径为5，且点O在直线l上，小明用一个三角板学具（∠ABC=90°，AB=BC=8）做数学实验：如图，若A、B两点在⊙O上滑动，直线BC分别与⊙O、l相交于点D、E．
（1）求BD的长；
（2）当OE=6时，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接AD．根据90°圆周角所对的弦是直角可知AD是圆O的直径，在△ABD中，依据勾股定理可求得BD的长；
（2）连接OD，过点O作OF⊥BD，垂足为F．由垂径定理可求得FD、BF的长，然后在△FOE中，依据勾股定理可求得EF的长，从而可求得BE的长．

解答 解：（1）如图1所示：连接AD．

∵∠ABD=90°，
∴AD是圆O的直径．
∴AD=10．
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{B}^{2}}$=6．
（2）如图2所示：连接OD，过点O作OF⊥BD，垂足为F．

∵OF⊥BD，BD=6，
∴BF=FD=3．
在Rt△ODF中，OF=$\sqrt{O{D}^{2}-F{D}^{2}}$=4．
在Rt△OFE中，EF=$\sqrt{O{E}^{2}-O{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴BE=FB+EF=3+2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查的是垂径定理、圆周角定理、勾股定理的应用，掌握此类问题的辅助线的作法是解题的关键．