如图.在平面直角坐标系中.抛物线y=a(x+2)2+4交x轴于点A.B.交y轴于点D.点C是抛物线的顶点.连接AC.BC.OB=1.点P.Q分别是线段AB.AC上的动点．(1)求抛物线的函数关系式．(2)如图①.若∠CPQ=∠CAB.是否存在点P使△CPQ为等腰三角形.并求点P的坐标．(3)如图②.连接AD与抛物线的对称轴交于点M.在抛物线上是否存在一点N.使以点A.M.P.N为顶点的四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x+2）²+4交x轴于点A、B，交y轴于点D，点C是抛物线的顶点，连接AC、BC，OB=1，点P、Q分别是线段AB、AC上的动点（点P不与A、B点重合）．

（1）求抛物线的函数关系式．
（2）如图①，若∠CPQ=∠CAB，是否存在点P使△CPQ为等腰三角形，并求点P的坐标．
（3）如图②，连接AD与抛物线的对称轴交于点M，在抛物线上是否存在一点N，使以点A、M、P、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N坐标；若不存在说明理由．

分析（1）因为OB=1，所以B的坐标为（0，1），把将B（0，1）代入抛物线的解析式即可求出a的值；
（2）点P使△CPQ为等腰三角形，则由两种情况，一种是∠CPQ=∠CQP，另一种是∠CPQ=∠PCQ；
（3）若点A、M、P、N为顶点的四边形为平行四边形，所以N的纵坐标与M的纵坐标相同或相反，所以求出M的坐标即可，而求出直线AD的解析式后，将x=-2代入直线AD的解析式即可求出M的坐标．然后注意求出N的坐标后，还要讨论点P的位置是否在线段AB上．

解答解：（1）∵OB=1，
∴B的坐标为（1，0），
把B（1，0）代入y=a（x+2）²+4，
∴0=9a+4，
∴a=-$\frac{4}{9}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4；

（2）当∠CPQ=∠CQP时，
∵∠CPQ=∠CAB，
∴∠CQP=∠CAB，
此时Q与A重合，
∴AC=PC，
∴由抛物线的对称性可知
此时P与B重合，不符合题意，
当∠CPQ=∠PCQ时，
∵∠CPQ=∠CAB，
∴∠PCQ=∠CAB，
∴AP=PC，
令y=0代入y=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4，
∴x=-5或x=1，
∴A（-5，0），
∵顶点C的坐标为（-2，4），
∴AP²=（x+5）²，
PC²=（x+2）²+4²，
∴（x+5）²=（x+2）²+4²，
∴x=-$\frac{5}{6}$，
∴P的坐标为（-$\frac{5}{6}$，0），
综上所述，当△CPQ为等腰三角形，点P的坐标为（-$\frac{5}{6}$，0）；

（3）设点P的坐标为（m，0），-5＜m＜1
令x=0代入y=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4，
∴y=$\frac{20}{9}$，
∴D的坐标为（0，$\frac{20}{9}$），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（-5，0）和D（0，$\frac{20}{9}$）代入y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{20}{9}=b}\\{0=-5k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{9}}\\{b=\frac{20}{9}}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=$\frac{4}{9}$x+$\frac{20}{9}$，
令x=-2代入y=$\frac{4}{9}$x+$\frac{20}{9}$，
∴y=$\frac{4}{3}$，
∴M的坐标为（-2，$\frac{4}{3}$），
当点N在x轴上方时，如图1，
此时，MN∥AP，
∴N的纵坐标为$\frac{4}{3}$，
把y=$\frac{4}{3}$代入y=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4，
∴x=-2±$\sqrt{6}$，
∴N的坐标为（-2$±\sqrt{6}$，$\frac{4}{3}$），
此时以点A、M、P、N为顶点的四边形为平行四边形时，
MN=AP=$\sqrt{6}$，
∴m+5=$\sqrt{6}$
∴m=-5+$\sqrt{6}$，符合题意；
当点N在x轴下方时，
过点N作NF⊥x轴于点F，
设抛物线的对称轴与x轴交于点E，
此时N的纵坐标为-$\frac{4}{3}$，
把y=-$\frac{4}{3}$代入y=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4，
∴x=-2±2$\sqrt{3}$，
当x=-2-2$\sqrt{3}$时，如图2，
以点A、M、P、N为顶点的四边形为平行四边形时，
此时AF=PE=2$\sqrt{3}$-3，
∴-2-m=2$\sqrt{3}$-3，
∴m=1-2$\sqrt{3}$，符合题意，
当x=-2+2$\sqrt{3}$时，如图3，
以点A、M、P、N为顶点的四边形为平行四边形时，
此时AE=PF=3，
∴m-（-2+2$\sqrt{3}$）=3，
∴m=1+2$\sqrt{3}$，不符合题意，
∴此情况不存在，
综上所述，当N的坐标为（-2$±\sqrt{6}$，$\frac{4}{3}$）或（-2-2$\sqrt{3}$，-$\frac{4}{3}$）时，点A、M、P、N为顶点的四边形为平行四边形．